2015高考数学(人教A版)一轮课件：5-1平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算考点考纲要求考查角度向量的线性运算及其几何意义掌握向量的线性运算及其几何意义以平面图形为载体考查线性运算共线向量理解两向量共线的含义及其几何表示向量共线的几何表示；证明三点共线，判断平面图形形状1.从近几年的高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，常与向量的数量积运算等结合命题．2．题型以选择题、填空题为主，难度中、低等．有时也会出现在解答题中．3．命题切入点：以考查平面图形的位置关系和数量关系为背景命题，考查转化与化归等数学思想．1.预测2015年高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为命题热点，重点考查运算能力与应用能力，考查函数与方程、转化与化归等数学思想．难度中等．2．突出向量的工具性，与其他数学知识结合命题.1.向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是任意的，(3)单位向量：长度等于个单位的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，规定：0与任一向量．平行共线相反相同1长度为0模长度方向大小(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：与a长度，方向的向量，叫做a的相反向量．相反相等相同相等特别提醒：向量是自由向量，在用有向线段表示向量时，要认识到有向线段的起点的选取是任意的，不能认为向量也是由起点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有“平衡意识”——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．有向线段仅是向量的直观体现，不能等同于向量．2．向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的，记作，即＝AB→＋BC→＝，这种求向量和的方法，称为向量加法的．(2)以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC→就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的．平行四边形法则三角形法则和a＋ba＋bAC→(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示．3．向量的减法运算及其几何意义(1)定义a－b＝a＋，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)如图，AB→＝a，AD→＝b，则DB→＝.a－b相反向量(－b)归纳拓展：(1)两个向量的和与差仍是向量，向量的减法是向量加法的逆运算，两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得．(2)由向量加、减法的几何意义可得向量不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，用这个不等式可以解决模的最值问题．如已知向量a、b，且|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值是8，当且仅当向量a、b共线且同向时取到；|a－b|的最小值是2，当且仅当向量a、b共线且反向时取到，熟悉该式中等号成立的条件，可以解决很多相关问题．4．向量数乘运算及其几意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.相反相同|λ||a|λa(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①设λ(μa)＝；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝.(3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.λa＋λbλa＋μa(λμ)a特别提醒：当λ＝0时，λa＝0；而λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.注意以上两种情况结果都是0，而不是0.归纳拓展：(1)λa的几何意义就是把a沿着a相同(λ＞0)或相反(λ＜0)的方向伸长(|λ|＞1或缩短|λ|＜1)到原来的|λ|倍．(2)当两个向量a、b不共线时，k1a＋k2b＝0的充要条件是k1＝k2＝0.1.(2014·开封二模)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A．－13B．－23C.13D.23解析：由题意，如图，CD→＝CB→－DB→＝CB→－12AD→＝CB→－12(CD→－CA→)＝CB→－12CD→＋12CA→，∴32CD→＝12CA→＋CB→.∴CD→＝13CA→＋23CB→.故λ＝23.答案：D2．(2014·北京海淀一模)在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b解析：CD平分∠ACB，由角平分线定理得ADDB＝CACB＝21，所以D为AB的三等分点，且AD→＝23AB→＝23(CB→－CA→)，所以CD→＝CA→＋AD→＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b，故选B.答案：B3．(2014·太原五中2月月考)若O为△ABC所在平面内一点，且3OA→＋4OB→＋7OC→＝0，则△OAB和△ABC的面积之比为()A.14B.13C.12D.25解析：将3OA→＋4OB→＋7OC→＝0变形为7(OA→＋OC→)＝4(OA→－OB→)．如图，以OA和OC为邻边所作的平行四边形的对角线OD和AB平行．显然OD交AC于AC的中点，故O到AB的距离是C到AB距离的12，所以△OAB和△ABC的面积之比为12.故选C.答案：C4．(2014·延边质检)在△ABC中，N为边AC上一点，且AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为()A.911B.511C.311D.411解析：由AP→＝mAB→＋211AC→得AP→＝mAB→＋211×4AN→＝mAB→＋811AN→，因为点B，P，N三点共线，所以m＋811＝1，即m＝311.答案：D5．(2014·宁夏育才中学月考)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝()A.14a＋12bB.13a＋23bC.12a＋14bD.23a＋13b解析：AF→＝AC→＋CF→＝a＋23CD→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.故选D.答案：D题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]①不正确．|a|＝|b|但a、b的方向不确定，故a，b不一定相等；②不正确．因为AB→＝DC→，A、B、C、D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案]D[方法·规律]1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．[变式1]给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义知．③不正确．若b＝0时，b与a、c都平行，但a、c不一定平行．④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．答案：C题型二平面向量的线性运算【例2】若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→[解析]因为D为BC边中点，∴OB→＋OC→＝2OD→，又2OA→＋OB→＋OC→＝0，∴2OA→＋2OD→＝0，即AO→＝OD→，故选A.[答案]A[方法·规律](1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式2](1)(2014·海口模拟)如图所示，向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，A、B、C在一条直线上，若AC→＝－3CB→，则()A．c＝－12a＋32bB．c＝32a－12bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b(2)若|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，则|AB→＋AC→|＝________.解析：(1)∵OC→＝OA→＋AC→＝OA→＋3BC→＝OA→＋3(OC→－OB→)＝3OC→＋OA→－3OB→，∴2OC→＝－OA→＋3OB→，∴c＝OC→＝－12a＋32b.(2)∵|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝|CB→|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，|AB→＋AC→|为三角形高的2倍，所以|AB→＋AC→|＝23.答案：(1)A(2)23题型三向量共线的应用【例3】如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，则1n＋1m的值为________．[解析]设OA→＝a，OB→＝b，由题意知OG→＝23×12(OA→＋OB→)＝13(a＋b)，PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝(13－m)a＋13b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ(13－m)a＋13λb，从而－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ得1n＋1m＝3.[答案]3[方法·规律]求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(t∈R)．(5)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.[变式3](1)(2014·湖北天门)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()A．5B．4C．3D．2(2)如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．解析：(1)如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，由MA→＋MB→＋MC→＝0，易知M是△ABC的重心，∴AB→＋AC→＝2AD→.又∵AD→＝32AM→，∴AB→＋AC→＝2AD→＝3AM→，∴m＝3，故选C.(2)AO→＝12(AB→＋AC→)＝m2AM→＋n2AN→，∵M，O，N三点共线，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2，故填2.答案：(1)C(2)2忽视零向量的特殊性致误【例1】(2014·杭州模拟)下列命题正确的是()A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λaB．在△ABC中，AB→＋BC→＋CA→＝0C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线[错解]