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2015高中数学理科复习课件第三章三角函数、解三角形第7讲正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1条必知规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.2个重要途径——确定三角形形状的两个途径(1)角化边：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)边化角：利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过因式分解、配方等变换，求出三条边之间的关系进行判断．3种必会方法——解三角形的三种方法(1)已知两角和一边(如A、B、c)，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和夹角(如a、b、C)，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A)，应用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.01抓住2个必备考点考点1正弦定理和余弦定理[想一想]在三角形中，“a2＋b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件？“a2＋b2c2”是“△ABC为锐角的三角形”的什么条件？提示：“a2＋b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件，“a2＋b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．[判一判]判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)．(1)在△ABC中，若A＝60°，BC＝43，AC＝42，则角B的大小为45°或135°.(×)(2)△ABC中，a＝5，c＝4，cosA＝916，则b＝6.(√)(3)若△ABC中，acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．(√)(4)在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC是钝角三角形．(√)考点2三角形中常用的面积公式1.S＝12ah(h表示边a上的高)．2．S＝12bcsinA＝＝.3．S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．12acsinB12absinC[填一填](1)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为.(2)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于.4334或3202突破3个热点考向考向一利用正、余弦定理解三角形例1(1)[2013·湖南高考]在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3(2)[2013·山东高考]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.①求a，c的值；②求sin(A－B)的值．[解析](1)由2asinB＝3b得2sinAsinB＝3sinB，故sinA＝32，故A＝π3或2π3.又△ABC为锐角三角形，故A＝π3.(2)①由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.②在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429.由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.[答案](1)D(2)见解析解三角形问题的技巧解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．[学以致用]1.[2012·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B.－725C.±725D.2425解析：在△ABC中，由正弦定理：bsinB＝csinC，∴sinCsinB＝cb，∴sin2BsinB＝85，∴cosB＝45.∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝725.答案：A2.[2013·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝23.(1)求b的值；(2)求sin(2B－π3)的值．解：(1)在△ABC中，由asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.故b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝23，可得b＝6.(2)由cosB＝23，得sinB＝53，进而得cos2B＝2cos2B－1＝－19，sin2B＝2sinBcosB＝459.所以sin(2B－π3)＝sin2Bcosπ3－cos2Bsinπ3＝45＋318.考向二利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)[2013·陕西高考]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定(2)[2014·温州模拟]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠B＝60°，2b＝a＋c，判断△ABC的形状．[解析](1)∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA0，∴sinA＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．(2)法一：2b＝a＋c,2sinB＝sinA＋sinC，∠B＝60°，∠A＋∠C＝120°，代入，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，展开整理得，32sinC＋12cosC＝1，sin(C＋30°)＝1，∠C＝60°，所以∠A＝60°，故△ABC为正三角形．法二：由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，∠B＝60°，b＝a＋c2，(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°，(a－c)2＝0，a＝c＝b，故△ABC为正三角形．[答案](1)B(2)见解析三角形形状判断的思路在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[学以致用]3.[2014·天津模拟]在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.∴△ABC为直角三角形．答案：B4.在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若ab＝cosBcosA，试确定△ABC的形状．解：法一：由ab＝cosBcosA，得acosA＝bcosB，∴a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．法二：由ab＝cosBcosA，得sinAsinB＝cosBcosA，∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．考向三与三角形面积有关的问题例3[2013·课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[解](1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.[易错点拨]有关三角形面积的最值问题，经常应用基本不等式破解，有些同学不能准确感知运用基本不等式的场合，不知构造基本不等式情景而使问题束手无策．三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[学以致用]5.[2013·重庆高考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3bc.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．解：(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32.又因0Aπ，所以A＝5π6.(2)由(1)得sinA＝12，又由正弦定理及a＝3得S＝12bcsinA＝12·asinBsinA·asinC＝3sinBsinC，因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即B＝π－A2＝π12时，S＋3cosBcosC取最大值3.03破译5类高考密码误区警示系列4——正、余弦定理求解三角形应注意的问题[2013·辽宁高考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且ab，则∠B＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析]由已知及正弦定理，得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝12sinB，所以sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinBsin(A＋C)＝sin2B＝12sinB.因为sinB≠0，所以sinB＝12.又ab，所以B为锐角，故∠B＝π6.[答案]A[易错分析]根据正、余弦定理，结合三角形中大边对大角进行分析判断，一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数．在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象．[破题技巧]正弦定理主要解决已知三角形两边及其中一边的对角、三角形两内角及其中一边两类问题(余弦定理主要解决已知三角形两边及其夹角、三角形三边两类问题)，在运用正弦定理时不需要知道其中的三个量才能求第四个量，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用，不要一味地寻找使用正弦定理的具体条件．如本题中，a与sinA，b与sinB可以直接替换，达到简化解题的效果．04迎战2年高考模拟05限时规范特训谢谢观看！