2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：3.4函数y=sin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简

第4课时函数y＝sinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用•(一)考纲点击•1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．•2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．•(二)命题趋势•通过近三年的高考试题分析，该部分主要考查：①根据部分函数图象求函数的解析式；②由图象确定解析式中参数的值．题型主要有选择题、填空题和解答题，属于中档题，其中解答题中往往作为其中一问．•1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图•用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.ωx＋φ0π2π32π2πx0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0对点演练作出y＝sinx－π4在一周期内的图象．解析：列表x－π40π2π32π2πxπ43π45π47π49π4y010－10描点画图如下：2．振幅、周期、相位、初相当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，叫做相位，叫做初相．函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.Aωx＋φφ对点演练(1)(教材改编)函数y＝3sin12x＋π3的周期、振幅依次是()A．4π，3B．4π，－3C．π，3D．π，－3答案：A(2)如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象，则其解析式是________．解析：由题中图知A＝3，T＝2πω＝π，∴ω＝2，代入π12，3可得φ＝π3，所以y＝3sin(2x＋π3)．答案：y＝3sin(2x＋π3)．3．图象变换函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：(1)相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)，把y＝sinx图象上所有的点向(φ＞0)，或向(φ＜0)平行移动个单位．(2)周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标(0＜ω＜1)或(ω＞1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)．左右|φ|伸长缩短•(3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标(A＞1)或(0＜A＜1)到原来的倍(横坐标不变)．伸长缩短A对点演练(1)将函数f(x)＝2cosx3＋π6的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝2cosx3－π4＋1B．g(x)＝2cosx3＋π4－1C．g(x)＝2cosx3－π12＋1D．g(x)＝2cosx3－π12－1解析：由题意得g(x)＝2cos13x＋π4＋π6－1＝2cosx3＋π4－1，故选B.答案：B(2)要得到函数y＝3sin2x＋π4的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象向________平移________个单位．答案：左π8•1．作图时应注意的两点•(1)作函数的图象时，首先要确定函数的．•(2)对于具有周期性的函数，应先求出，作图象时只要作出的图象，就可根据作出整个函数的图象．定义域周期一个周期周期性2．图象变换的两种方法的区别由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位．|φ|个单位题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画出函数y＝3sin2x＋π3，x∈R的简图．【解】法一：五点法由T＝2π2，得T＝π，列表：x－π6π12π37π125π62x＋π30π2π3π22π3sin2x＋π3030－30描点画图：将所得图象按周期向两侧扩展可得y＝3sin2x＋π3在R上的图象．法二：图象变换法――――――――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的12y＝sin2x＋π3――――――――――――――→纵坐标变为3倍横坐标不变y＝3sin2x＋π3将所得图象按周期向两侧扩展可得y＝3sin(2x＋π3)在R上的图象．【归纳提升】(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．针对训练1．(2013·湖北)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：将函数y＝3cosx＋sinx的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，得到函数y＝2sinx＋m＋π3的图象关于y轴对称，∴x＝0为其对称轴方程，∴m＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，∴m＝π6＋kπ(k∈Z)．∵m＞0，∴当k＝0时，mmin＝π6.选B.答案：B题型二求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3【解析】由图象可知T2＝11π12－5π12⇒T＝π，则ω＝2πT＝2.又图象过点5π12，2，∴f5π12＝2，则2sin5π6＋φ＝2⇒sin56π＋φ＝1，∵－π2＜φ＜π2，∴π3＜5π6＋φ＜4π3，故5π6＋φ＝π2，即φ＝－π3，故选A.【答案】A【归纳提升】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝最高点－最低点2；②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝2πω(ω＞0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定φ.针对训练2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为()A．y＝－4sinπ8x－π4B．y＝－4sinπ8x＋π4C．y＝4sinπ8x－π4D．y＝4sinπ8x＋π4解析：由图象可知，A＝4，T2＝8，2πω＝T＝16，∴ω＝π8，设y＝4sinπ8x＋φ，代入最低点坐标(2，－4)，可得sinπ4＋φ＝－1，∴π4＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋5π4，k∈Z.满足条件的一个φ＝5π4，即φ＝5π4，∴y＝4sinπ8x＋5π4＝4sinπ8x＋π＋π4＝－4sinπ8x＋π4，所以选B.答案：B•题型三三角函数模型的应用•如图为一个缆车示意图，该缆车半•径为4.8米，圆上最低点与地面的距离为•0.8米，且每60秒转动一圈，图中OA与地•面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角•到OB，设B点与地面间的距离为h.•(1)求h与θ间的函数关系式；•(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间．【解】(1)过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M(如图)，当θ＞π2时，∠BOM＝θ－π2，h＝OA＋BM＋0.8＝5.6＋4.8sinθ－π2.当0≤θ≤π2时，上式也成立．∴h与θ间的函数关系式为h＝5.6＋4.8sinθ－π2.(2)点A在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，∴t秒转过的弧度数为π30t，∴h＝5.6＋4.8sinπ30t－π2，t∈[0，＋∞)．首次到达最高点时，h＝10.4米，即sinπ30t－π2＝1，π30t－π2＝π2，即t＝30秒时，该缆车首次到达最高点．•【归纳提升】本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y＝sinx，y＝cosx等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．•针对训练•3．如图所示，某地夏天从8～14时用•电量变化曲线近似满足函数•y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)．•(1)求这一天的最大用电量及最小用•电量；•(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察题中图象，可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．∴A＝12×(50－30)＝10，b＝12×(50＋30)＝40.∴T2＝14－8＝12·2πω，∴ω＝π6，∴y＝10sinπ6x＋φ＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝π6，∴所求解析式为y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8,14]．满分指导：解答三角函数的综合问题【典例】(2012·安徽)设函数f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期．(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π2)＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)，求函数g(x)在[－π，0]上的解析式．【规范解答】(1)f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x＝12cos2x－12sin2x＋12(1－cos2x)＝12－12sin2x.①4分故ω＝2，T＝2πω＝2π2＝π.所以函数f(x)的最小正周期T＝π.5分(2)由已知x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x.6分故当x∈－π2，0时，x＋π2∈0，π2，g(x)＝gx＋π2＝12sin2x＋π2＝－12sin2x.②8分由g(x＋π2)＝g(x)得g(x＋π)＝gx＋π2＋π2＝g(x＋π2)＝g(x).10分故当x∈－π，－π2时，(x＋π)∈0，π2，g(x)＝g(x＋π)＝12sin2(x＋π)＝12sin2x.③11分所以函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－12sin2x，－π2≤x≤0，12sin2x，－π≤x＜－π2.④12分•【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程)