2014高考数学(理)课件(山东专供)第三章 第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用1.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的一般步骤(1)定点：如表.xωx+φ0π2πy=Asin(ωx+φ)-A023222320A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.2.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的步骤φ＞0φ＜0缩短;伸长sin(ωx+φ)A13.函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,x∈［0,+∞))的物理意义(1)振幅为A.(2)周期T=____.(3)频率f=__=_____.(4)相位是________.(5)初相是φ.21T2ωx+φ判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)作函数y=sin(x-)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0，0)，(1)，(π，0)，(-1),(2π,0)这五个点.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)将y=3sin2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y=3sin(2x+).()62，443,2(4)y=sin(x-)的图象是由y=sin(x+)的图象向右移个单位得到的.()(5)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.()442【解析】(1)错误.五点应为(2)错误.“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为故当ω≠1时平移的长度不相等.(3)错误.左移个单位后解析式应为y=3sin2(x+)=3sin(2x+).27513(,0),(,1),(,0),(,1),(,0).63636.442(4)正确.将y=sin(x+)的图象右移个单位后得y=(5)正确.振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的，其中答案:(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√42sin(x)sin(x).244［］MmA.21.y=2sin(x-)的振幅、频率和初相分别为()【解析】选B.由解析式可得，A=2,T=2π,φ=故选B.411A2,B2,,42411C2,,D2,,424，.411f,T22.函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式应为g(x)=()(A)-sinx(B)sinx(C)-cosx(D)cosx【解析】选A.将y=cosx的图象向左移个单位后得，y=g(x)=cos(x+)=-sinx,故选A.2223.将函数y=sin(2x+)的图象右移个单位后得到的函数图象的对称轴是()【解析】选B.将y=sin(2x+)的图象右移个单位后，得y=sin［］=sin(2x-)，令k∈Z，得k∈Z，故选B.64k5k5Ax,kZBx,kZ26212kCx,kZDxk,kZ2612642(x)4632xk32，k5x,2124.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω=______.【解析】设最小正周期为T，由图象可知答案:12T,43334223T..43T23325.将函数y=sin(2x-)左移个单位后图象的对称中心是_____.【解析】将y=sin(2x-)左移个单位后得y=sin(2x+)，答案:(0),k∈Z44444k2xk,kZ,x,kZ.428令得k,28考向1函数y=Asin(ωx+φ)的图象【典例1】(1)(2013·三明模拟)要得到函数y=cos(2x+)的图象，只需将函数y=cos2x的图象()(A)向右平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位(D)向左平移个单位6661212(2)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()10Aysin(2x)Bysin(2x)10511Cysin(x)Dysin(x)210220(3)(2013·合肥模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0,＜φ＜0)的最小正周期为π,且①求ω和φ的值；②在给定坐标系中作出函数f(x)在［0，π］上的图象.23f().42【思路点拨】(1)将函数解析式y=cos(2x+)化为y=cos［2(x+)］即可得到结果.(2)利用图象平移和伸缩变换的步骤逐步变换可得解析式.(3)①由周期得ω，由f()得φ；②采用五点法作图，注意定义域［0,π］即可.6124【规范解答】(1)选D.y=cos(2x+)=cos［2(x+)］,故只需将y=cos2x的图象左平移个单位即可得到y=cos(2x+)的图象.(2)选C.将y=sinx图象右移个单位得y=sin(x-)的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍得y=sin(x-)的图象,故选C.61261010121012(3)①最小正周期T=∴ω=2.∵f()=cos(2×+φ)=cos(+φ)=-sinφ=∴sinφ=∵＜φ＜0,∴φ=2,4423,23.22.3②由①得f(x)=cos(2x-),列表：30πx0πf(x)10-102x332325365122311121212图象如图.【互动探究】若将本例题(1)中改为“要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos(2x+)的图象怎样变换得到？”，则如何求解？【解析】y=sin2x=cos(2x-)所以只需将y=cos(2x+)的图象向右平移个单位即可得到y=sin2x的图象.622cos(2x)cos2(x)3636［］，63【拓展提升】函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的两种作法(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取0，来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.(2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.3222，，，【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同.【变式备选】画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.【解析】由得T＝π，列表：32T2＝，x0π030-306123712562x323223sin(2x)3描点画图：将所得图象按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+)在R上的图象.3考向2由图象求解析式【典例2】(1)(2013·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A＞0,ω＞0,|φ|＜的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()(A)f(x)=2sin(πx+)(x∈R)(B)f(x)=2sin(2πx+)(x∈R)(C)f(x)=2sin(πx+)(x∈R)(D)f(x)=2sin(2πx+)(x∈R))26633(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,|φ|＜ω＞0)的图象的一部分如图所示.①求f(x)的表达式；②试写出f(x)的对称轴方程.,2【思路点拨】(1)先确定A，后确定T，从而得ω，再利用特殊点确定φ.(2)根据最值先确定A，再由(0，1)求φ的值，最后根据图象的特点确定零点的对应点.【规范解答】(1)选A.由图象可知A=2，∴T=2，∴ω==π.由图象可知即=π+2kπ,k∈Z,得∴f(x)=2sin(πx+)(x∈R).11T42，2252k,kZ,6562k,kZ.6,.26＜6(2)①观察图象可知：A=2且点(0，1)在图象上，∴1=2sin(ω·0+φ),1sin.,.226即＜11ysinx1211(,0)2,012又是函数的一个零点，结合的图象可知对应于点，112,2.126fx2sin(2x).6②设则函数y=2sinB的对称轴方程为2xB,6Bk,kZ,22xkkZ,62kxkZ,26即解得kfx2sin(2x)xkZ.626的对称轴方程为【互动探究】若将本例题(1)的图象改为如图所示的图象，其他条件不变，又将如何求解函数的解析式？【解析】由图象知所以由6×+φ=π+2kπ,k∈Z,所以函数的解析式为1A2T44，＝，T16;8，则8y2sin(x).84||,.24＜得＝【拓展提升】确定y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m,则(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得MmMmA,b.222.T(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=“第五点”时ωx+φ=2π.【提醒】在求φ时要注意已知中所给的φ的范围.;232；【变式训练】(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0,ω＞0，|φ|＜π)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()(A)A＝3，Ｔ＝φ＝(B)A＝1，Ｔ＝φ＝(C)A＝1，Ｔ＝φ＝(D)A＝1，Ｔ＝φ＝43，43，43，43，6－6－3434－(2)如图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,｜φ｜＜)的一段图象，则函数f(x)的解析式为_____.2【解析】(1)选C.由图象知，得φ=+2kπ,k∈Z，∵|φ|＜π,∴当k=-1时，31T52A122663，＝＝，4333T2k,kZ,32622所以，＝；由＝543.4(2)由图象得A=2，当x=0时，sinφ＝因为｜φ｜＜答案:f(x)=2sin(3x+)32，2，23933.fx2sin(3x).3所以，所以由题图可知，所以3考向3三角函数性质的应用【典例3】(2013·东城模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)的对称中心.(3)求f(x)的单调区间.2【思路点拨】(1)由函数的图象分别求A,ω，利用特殊点求φ，可解.(2)由函数的解析式结合正弦函数的对称中心与单调性求解.【规范解答】(1)由图象可知A=2，114T(),126322,(,0)fx2s