2014高考数学一轮复习 3-6正弦定理和余弦定理课件 文

（第1课时）【2014年高考可能会这样考】考查利用正、余弦定理求解简单斜三角形边角的问题，求三角形面积和判断三角形的形状．【复习指导】1．强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用．2．重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题．基础梳理1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a＝，b＝，c＝；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等形式，以解决不同的三角形问题．2RsinA2RsinB2RsinC2．余弦定理：a2＝，b2＝，c2＝．余弦定理可以变形为：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.b2＋c2－2bccosAa2＋b2－2abcosCa2＋c2－2accosB两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．【变式】►在例1中若将条件换为a＝1，b＝3，B＝60°.则角A为？(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大；即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.【训练1】【高考突破115P变式训练2】►在△ABC中：（1）若b＝3，c2，C=45，则a＝________.（2）若a＝3，b＝6，A=30，则c＝________.无解3√3考向二利用余弦定理解三角形【例2】【高考突破114P课前训练3（2012陕西）】►在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若2222cba，则Ccos的最小值为（）A.23B.22C.21D.21[审题视点]条件及结论中涉及三角形三边及一角的关系，直接利用余弦定理求解即可．【训练2】【高考突破115P课前训练4（2012北京）】►在△ABC中，若a=2，b+c=7，41cosB，则b=【训练3】【高考突破115P课前训练5】►在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且a=5，c=8，则△ABC的内切圆面积为)41()7(4)7(222bb43π解：由余弦定理得22156071453bbbbbBaccabcos22224,6015bb考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．[审题视点]第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sinC＋sin(B－A)＝2sin2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练4】【高考突破116P变式训练3(2012·山东文)】（课后巩固练习）►在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a=1，c=2，求△ABC的面积S．【课后思考题】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录由1＋2cos(B＋C)＝0，知cosA＝12，∴A＝π3，根据正弦定理asinA＝bsinB得：sinB＝bsinAa＝22，∴B＝π4或3π4.以下解答过程略．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cosA，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cosA＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝512π.∴sinC＝sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为bsinC＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB＞0，故cosB＝22，所以B＝45°.