2012年母亲节活动策划方案

第六节简单的三角恒等变换1．用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2sin2α2＝____________，cos2α2＝____________，tan2α2＝____________．2．用sinα，cosα表示tanα2tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα3．辅助角公式asinα＋bcosα＝____________________(其中tanφ＝ba)．4．“1”的妙用sin2α＋cos2α＝1，cos2α＋2sin2α＝1，1＝2cos2α－cos2α，sinπ2＝cos0＝tanπ4＝1.a2＋b2sin(α＋φ)1．怎样确定sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα的符号？【提示】各函数值的符号取决于α2所在象限．2．你能写出tanα2＝sinα1＋cosα的推导过程吗？【提示】tanα2＝sinα2cosα2＝2sinα2cosα22cos2α2＝sinα1＋cosα.1．(人教A版教材习题改编)化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1【解析】2＋cos2－sin21＝3cos21＝3cos1.【答案】C2．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在(π4，π2)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】∵f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．【答案】B3．(2012·山东高考)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.34【解析】∵θ∈[π4，π2]，∴2θ∈[π2，π]．∴cos2θ＝－1－sin22θ＝－18，∴sinθ＝1－cos2θ2＝34.【答案】D4．(2013·阳江质检)函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．【解析】∵f(x)＝sin2(2x－π4)＝12[1－cos(4x－π2)]＝12－12sin4x，∴最小正周期T＝2π4＝π2.【答案】π2化简：(1tanα2－tanα2)·1－cos2αsin2α.【思路点拨】切化弦→通分后利用倍角公式【尝试解答】原式＝(cosα2sinα2－sinα2cosα2)·2sin2α2sinαcosα＝cos2α2－sin2α2sinα2·cosα2·sinαcosα＝2cosαsinα·sinαcosα＝2.1．本题求解的关键在于：切化弦、通分(约分)，然后灵活运用倍角公式及其变形．2．三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．化简（1＋sinα＋cosα）（sinα2－cosα2）2＋2cosα(π＜α＜2π)．【解】∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cosα2＜0.∴原式＝（2cos2α2＋2sinα2cosα2）（sinα2－cosα2）2（1＋cosα）＝2cosα2（sinα2＋cosα2）（sinα2－cosα2）2|cosα2|＝－(sinα2＋cosα2)(sinα2－cosα2)＝cos2α2－sin2α2＝cosα.(1)(2012·重庆高考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32(2)(2013·惠州模拟)已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin（π4＋α）＝________．【思路点拨】(1)利用sin47°＝sin(17°＋30°)，展开求解；(2)根据π4－α，π4＋α，2α之间的关系求解．【尝试解答】(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin（17°＋30°）－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.(2)∵cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)，∴cos2αsin（π4＋α）＝2cos(α＋π4)＝2sin(π4－α)，又0＜α＜π4且cos(π4－α)＝1213，∴sin(π4－α)＝1－cos2（π4－α）＝1－（1213）2＝513，∴原式＝2sin(π4－α)＝2×513＝1013.【答案】(1)C(2)10131．本题(2)求解时，也可将cos(π4－α)，sin(π4＋α)展开化简最终转化为求cosα－sinα的值．2．三角函数的“给式(值)求值”的关键是找出已知式与未知式的关系，将所给一个或几个三角函数式经过变形，转化成所求函数式能使用的形式，或者将所求函数式经过变形后再用条件达到求值的目的．已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2x2cos（π4＋x）·sinx的值．【解】(1)由sinx2－2cosx2＝0，得tanx2＝2，∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.(2)∵cos2x＝sin(2x＋π2)＝2sin(x＋π4)cos(x＋π4)，∴原式＝2sin（x＋π4）cos（x＋π4）2cos（π4＋x）·sinx＝sinx＋cosxsinx＝1＋1tanx＝1＋(－34)＝14.(2012·安徽高考)设函数f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π2)＝g(x)，且当x∈[0，π2]时，g(x)＝12－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．【思路点拨】(1)把f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式求解；(2)利用g(x)的周期为π2，分x∈[－π2，0]和x∈[－π，－π2)两种情况．【尝试解答】(1)f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x＝22(cos2xcosπ4－sin2xsinπ4)＋1－cos2x2＝12－12sin2x.故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈[0，π2]时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x，故①当x∈[－π2，0]时，x＋π2∈[0，π2]．由于对任意x∈R，g(x＋π2)＝g(x)，从而g(x)＝g(x＋π2)＝12sin[2(x＋π2)]＝12sin(π＋2x)＝－12sin2x.②当x∈[－π，－π2)时，x＋π∈[0，π2)，从而g(x)＝g(x＋π)＝12sin[2(x＋π)]＝12sin2x.综合①②得g(x)＝12sin2x，x∈[－π，－π2），－12sin2x，x∈[－π2，0].1．利用asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．2．(1)三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；(2)降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．【解】(1)由已知，f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cosx)－12sinx－12＝22cos(x＋π4)，所以f(x)的最小正周期为2π，值域为[－22，22]．(2012·四川高考)已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．(2)由(1)知，f(α)＝22cos(α＋π4)＝3210，所以cos(α＋π4)＝35.所以sin2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos2(α＋π4)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－1825＝725.把函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，是求函数周期、最值、值域、单调区间等的关键．(1)三角函数的化简常用方法：利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化．(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化．(3)三角恒等式的证明，要看左右两边角、函数名、结构之间的关系，消除差异，化异为同．从近两年高考看，运用和、差、倍角公式进行三角函数恒等变形，进而研究三角函数的性质问题，是各省常考常新的题型，并多以解答题的形式呈现，常与三角函数的图象、解三角形相交汇，具有综合性，试题难度中等，分值12分左右，着重考查转化思想和计算能力．思想方法之七用辅助角公式研究三角函数的性质(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin(2x＋π3)＋sin(2x－π3)＋2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．【规范解答】(1)f(x)＝sin2x·cosπ3＋cos2x·sinπ3＋sin2x·cosπ3－cos2x·sinπ3＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π4)，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由－π4≤x≤π4，得－π4≤2x＋π4≤3π4.∴当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)有最大值2，当2x＋π4＝－π4，即x＝－π4时，f(x)有最小值－1.∴f(x)在区间[－π4，π4]上的最大值、最小值分别是2和－1.易错提示：(1)化简解析式时出错，导致错误答案．(2)求最值时，误把x的范围当成2x＋π4的范围，导致错误答案．防范措施：(1)化简解析式，把函数式转化为Asin(ωx＋φ)的形式是解答本题的关键，因此求解时应力求准确，必要时应进行检验，看化简结果是否正确．(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域时，可令t＝ωx＋φ，然后根据x的范围确定t的范围，最后可根据y＝sint的图象，确定函数的最值或值域．1．(2013·汕尾模拟)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为()A．{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z}B．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z}C．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋56π，k∈Z}D．{x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z}【答案】A【解析】f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)≥1，∴sin(x－π6)≥12，∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋56π(k∈Z)，∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，(k∈Z)．2．(2012·江西高考)已知f(x)＝sin2(x＋π4)，若a＝f(lg5)，b＝f(lg15)，则()A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【解析】由题意知f(x)＝sin2(x＋π4)＝1－cos（2x＋π2）2＝1＋sin2x2，令g(x)＝12sin2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg5)＝g(lg5)＋12，b＝f(lg15)＝g(lg15)＋12，则a＋b＝g(lg5)＋g(lg15)＋1＝g(lg5)＋g(－lg5)＋1＝1.【答案】C课后作业（二十三）