2014高考数学一轮复习课件3.3三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个____的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的________________．f(x＋T)＝f(x)最小最小正周期2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域______________________________________值域____________________x∈Rx∈Rx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z[－1，1][－1，1]R单调性递增区间是_________(k∈Z)，递减区间是________________________(k∈Z)递增区间是___________(k∈Z)，递减区间是______(k∈Z)递增区间是____________(k∈Z)[2kπ－π2，2kπ＋π2][2kπ＋π2，2kπ＋3π2][2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π](kπ－π2，kπ＋π2)最值ymax＝1；ymin＝－1ymax＝1；ymin＝___无最大值和最小值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心_________________对称性对称轴________无对称轴最小正周期2π2ππ－1(kπ，0)，k∈Z(kπ2，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Z1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？【提示】y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点．1．(人教A版教材习题改编)函数y＝tan3x的定义域为()A．{x|x≠32π＋3kπ，k∈Z}B．{x|x≠π6＋kπ，k∈Z}C．{x|x≠－π6＋kπ，k∈Z}D．{x|x≠π6＋kπ3，k∈Z}【解析】由3x≠π2＋kπ，k∈Z得x≠π6＋kπ3，k∈Z，.【答案】D2．函数f(x)＝2cos(x＋5π2)是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解析】f(x)＝2cos(x＋52π)＝2cos(x＋π2)＝－2sinx，故f(x)是最小正周期为2π的奇函数．【答案】A3．(2012·福建高考)函数f(x)＝sin(x－π4)的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点，故令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4，k∈Z.取k＝－1，则x＝－π4.【答案】C4．函数y＝2－3cos(x＋π4)的最大值为________，此时x＝________．【解析】当cos(x＋π4)＝－1时，函数有最大值5，此时，x＋π4＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝34π＋2kπ，k∈Z.【答案】534π＋2kπ，k∈Z(1)(2012·山东高考)函数y＝2sin(πx6－π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)f(x)＝1＋log12x＋tan(x＋π4)的定义域是________．【思路点拨】(1)先确定πx6－π3的范围，再数形结合求最值；(2)转化为关于x的不等式组求解．【尝试解答】(1)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴sin(π6x－π3)∈[－32，1]．∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.(2)依题意1＋log12x≥0，x＋π4≠kπ＋π2（k∈Z）.∴0＜x≤2，且x≠kπ＋π4(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域是{x|0＜x≤2，且x≠π4}．【答案】(1)A(2){x|0＜x≤2，且x≠π4}1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法．(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．(1)函数y＝2sinx－1的定义域为________．(2)当x∈[π6，7π6]时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．【解析】(1)由2sinx－1≥0得sinx≥12，∴2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z，故函数的定义域为[2kπ＋π6，2kπ＋56π](k∈Z)．(2)由π6≤x≤76π，知－12≤sinx≤1.又y＝3－sinx－2cos2x＝2sin2x－sinx＋1＝2(sinx－14)2＋78，∴当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝1或－12时，ymax＝2.【答案】(1)[2kπ＋π6，2kπ＋5π6](k∈Z)(2)782【思路点拨】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略定义域．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝（sinx－cosx）sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【尝试解答】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝（sinx－cosx）sin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－π4)－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)递增区间为[kπ－π8，kπ)和(kπ，kπ＋3π8](k∈Z)．1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．已知函数y＝sin(π3－2x)．(1)求函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】由y＝sin(π3－2x)＝－sin(2x－π3)．(1)周期T＝2πω＝2π2＝π.(2)令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.则y＝sin(π3－2x)在[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)上递减．又－π≤x≤0，∴－π12≤x≤0或－π≤x≤－712π故f(x)在[－π，0]上的单调减区间是[－π，－712π]和[－π12，0].设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形；④在区间[－π6，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示)．【思路点拨】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【尝试解答】若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，且|φ|＜π2，故k＝0，∴φ＝π3.此时f(x)＝sin(2x＋π3)，当x＝π3时，sin(2x＋π3)＝sinπ＝0，∴f(x)的图象关于(π3，0)成中心对称；又f(x)在[－5π12，π12]上是增函数，∴在[－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.【答案】①②⇒③④或①③⇒②④1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．【答案】B【解析】f(x)＝sin(πx－π2)－1＝－cosπx－1，因此函数f(x)是偶函数，周期T＝2ππ＝2.已知函数f(x)＝sin(πx－π2)－1，则下列说法正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．从近两年高考试题看，三角函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等是高考的热点内容，常与三角变换等知识交汇，在考查三角函数图象与性质的同时，注重考查三角变换的技能，及数形结合、转化与化归等数学思想．创新探究之四三角函数单调性的创新应用(2012·课标全国卷)已知ω0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是()A．[12，54]B．[12，34]C．(0，12]D．(0，2]【答案】A【解析】由π2＜x＜π得π2ω＋π4＜ωx＋π4＜πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴π2ω＋π4≥π2，且πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54.创新点拨：(1)题目背景创新，已知三角函数在给定区间上的单调性，求参数的取值范围，考查了学生的逆向思维．(2)解法创新，本题有多种解法，但每种解法都是建立在对三角函数的单调性深刻理解基础之上的．应对措施：(1)此类题目不管背景如何新颖，都是考查对基础知识的理解与掌握，求解时可从基础知识、基本方法入手．(2)解答本题时，可根据x的范围求出ωx＋π4的范围，再与单调减区间[π2，3π2]相比较求解；也可先求f(x)的单调减区间，然后根据(π2，π)与单调减区间的关系求解．1．(2013·广州模拟)已知函数f(x)＝2sinωx在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是()A．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D．(－∞，－2]∪[32，＋∞)【答案】D【解析】当ω＞0时，由－π3≤x≤π4得－π3ω≤ωx≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，∴ω≥32，当ω＜0时，由－π3≤x≤π4得π4ω≤ωx≤－π3ω，由题意知，π4ω≤－π2，∴ω≤－2，综上知ω∈(－∞，－2]∪[32，＋∞)．2．(2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin(ωx－π6)＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．【解】(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T＝π，∴