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•第一节平面向量的基本概念及线性运算•1．向量的有关概念•(1)向量：既有_______又有_______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_____________．•(2)零向量：__________的向量，其方向是任意的．•(3)单位向量：长度等于__________的向量．•(4)平行向量：方向____________的非零向量．平行向量又叫_____________．规定：0与任一向量_______．•(5)相等向量：长度_______且方向_______的向量．•(6)相反向量：长度_______且方向_______的向量．大小方向长度(或模)长度为01个单位相同或相反共线向量平行相等相同相等相反•2．向量的加法和减法•(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．•运算性质：a＋b＝_______；(a＋b)＋c＝__________．•(2)减法与_______互为逆运算；服从三角形法则．•3．实数与向量的积•(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：•①长度：|λa|＝________；②方向：当_______时，λa与a的方向相同；当_________时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝_____．b＋aa＋(b＋c)加法|λ||a|λ0λ＜00•(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝•(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝____________．•4．平面向量共线定理•向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得__________．λa＋λbb＝λa1．向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上，这种说法正确吗？【提示】不正确．若向量AB→与向量CD→是共线向量，则向量AB→与CD→所在的直线平行或重合，因此，A，B，C，D不一定共线．•2．a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件吗？•【提示】当a≠0，b＝0时，a∥bDa＝λb，但a＝λba∥b，•∴a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要不充分条件，不是充要条件．•【答案】D1．(人教A版教材习题改编)化简OP→－QP→＋MS→＋QM→的结果为()A.OM→B.SM→C.PS→D.OS→【解析】OP→－QP→＋MS→＋QM→＝(OP→＋PQ→)＋(QM→＋MS→)＝OQ→＋QS→＝OS→.•2．下列给出的命题正确的是()•A．零向量是唯一没有方向的向量•B．平面内的单位向量有且仅有一个•C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量•D．相等的向量必是共线向量•【解析】零向量方向任意，而不是没有方向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是共线向量，故D正确．•【答案】D•【解析】由题意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，•【答案】D3．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为()A．1B．－1C.13D．－13•【答案】C4．(2012·四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【解析】a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有a|a|＝b|b|，观察选择项易知C满足题意．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4•【思路点拨】以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确．【尝试解答】①不正确．|a|＝|b|但a、b的方向不确定，故a，b不一定相等；②不正确．因为AB→＝DC→，A、B、C、D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．【答案】D•1．(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．•2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．•3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．•给出下列四个命题：•①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；•②若a＝b，b＝c，则a＝c；•③若a∥b，b∥c，则a∥c；•④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.•其中假命题的个数为()•A．1B．2C．3D．4•【解析】①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．•②正确．根据向量相等的定义知．•③不正确．若b＝0时，b与a、c都平行，但a、c不一定平行．•④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．•【答案】C(1)在△ABC中，若D是AB边上一点，且AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A.23B.13C．－13D．－23(2)若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→•【答案】(1)A(2)A【思路点拨】(1)D是AB边上的三等分点，把CD→用CA→、CB→表示；(2)由D为BC边中点可得OB→＋OC→＝2OD→，代入已知条件即可求解．【尝试解答】(1)CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23，故选A.(2)因为D为BC边中点，∴OB→＋OC→＝2OD→，又2OA→＋OB→＋OC→＝0，∴2OA→＋2OD→＝0，即AO→＝OD→，故选A.1．解答本题(1)的关键是利用向量的加法与减法把CD→用CA→、CB→表示出来．解答本题(2)的关键是OB→＋OC→＝2OD→.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．(1)(2013·茂名模拟)如图4－1－1所示，向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，A、B、C在一条直线上，若AC→＝－3CB→，则()A．c＝－12a＋32bB．c＝32a－12bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b【答案】A【解析】∵OC→＝OA→＋AC→＝OA→＋3BC→＝OA→＋3(OC→－OB→)＝3OC→＋OA→－3OB→，∴2OC→＝－OA→＋3OB→，∴c＝OC→＝－12a＋32b.设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线．(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－ke2，且A、C、F三点共线，求k的值．【思路点拨】(1)A、C、D三点共线⇔存在实数λ使AC→＝λCD→.(2)A、C、F三点共线⇔存在实数λ，使AC→＝λAF→.【尝试解答】(1)AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，所以CD→＝－2AC→，∴AC→与CD→共线，又∵AC→与CD→有公共点C，∴A、C、D三点共线．(2)∵AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.∵A、C、F三点共线，∴AC→∥AF→，从而存在实数λ，使得AC→＝λAF→.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k＝2.所以实数k的值为2.1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)OA→＝λOB→＋μOC→(μ，λ∈R)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.•(1)(2013·惠州质检)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()•A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向•C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向•(2)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()•A．充分不必要条件B．必要不充分条件•C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件•【解析】(1)∵c∥d，∴c＝λd，•即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb，•∴k＝λ＝－1.•(2)由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立．•由a∥b知a＝λb，λ≠－1时，a＋b≠0，因此必要性不成立．•∴a＋b＝0是“a∥b”的充分不必要条件．•【答案】(1)D(2)A•一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．•1.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．•2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；•3．利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合．•从近两年高考试题来看，平面向量的概念，线性运算及向量共线是高考命题的重点，常与平面向量基本定理、平面向量的数量积交汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程中，不要忽视零向量的特殊性．•【错解】错解一a、b共线，必然是有且只有一个实数λ，使b＝λa，∴A正确．•【答案】A易错辨析之八忽视零向量的特殊性致误(2013·杭州模拟)下列命题正确的是()A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λaB．在△ABC中，AB→＋BC→＋CA→＝0C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线•【答案】B•错解三当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，C正确．•【答案】C错解二首尾相连，始终如一．在△ABC中，AB→、BC→、CA→围成了一个封闭图形，故AB→＋BC→＋CA→＝0，故B正确．•错因分析：(1)错解一，忽视了a≠0这一条件．•(2)错解二，忽视了0与0的区别．•(3)错解三，忽视了零向量的特殊性，当a＝0或b＝0时，两个等号同时成立．•防范措施：(1)共线向量定理中，b＝λa要求a≠0，否则λ值可能不存在．•(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数．•(3)应熟练掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件．•【正解】∵向量a与b不共线，•∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量．•若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，•即(λ－1)a＝(1＋λ)b，•λ无解，故假设不成立，•即a＋b与a－b不平行，故选D.•【答案】D•1．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量()•A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b•B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|•C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa•D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|•【解析】由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，•∴a·b＝－|a||b|.•∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，•