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•第五节数系的扩充与复数的引入•1．复数的有关概念•(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若_________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若_____________，则a＋bi为纯虚数．•(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔_______________(a，b，c，d∈R)．•(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔______________(a，b，c，d∈R)．b＝0b≠0a＝0且b≠0a＝c，b＝da＝c，b＝－d(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝____________．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点___________及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．Z(a，b)a2＋b2•3．复数的运算•(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图4－5－1给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝__________，Z1Z2→＝_____________．OZ1→＋OZ2→OZ2→－OZ1→•1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＞z2，则a＞c说法正确吗？•【提示】正确．因为z1，z2至少有一个为虚数时是不能比较大小的，故z1，z2均为实数，即z1＝a，z2＝c，所以a＞c.•2．若|z－z1|＝|z－z2|，则z对应的点与z1、z2对应的点之间的关系是什么？•【提示】复数z对应点位于复数z1、z2对应点连线段的中垂线上．•1．(人教A版教材习题改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()•A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i•【解析】∵A(6，5)，B(－2，3)，•∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.•【答案】C•【答案】A2．复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A.25B．－25C.15D．－15【解析】i1＋2i＝i（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝2＋i5＝25＋15i，故选A.•3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()•A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1•C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－1•【解析】(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，故应有a＝1，b＝－1.•【答案】D•【答案】D4．(2012·广东高考)设i为虚数单位，则复数5－6ii＝()A．6＋5iB．6－5iC．－6＋5iD．－6－5i【解析】5－6ii＝（5－6i）ii2＝－(5i－6i2)＝－(5i＋6)＝－6－5i，故选D.(1)(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；•p3：z的共轭复数为1＋i；•p4：z的虚部为－1.•其中的真命题为()•A．p2，p3B．p1，p2•C．p2，p4D．p3，p4•【思路点拨】(1)分别验证“充分性”和“必要性”；•(2)把复数z化成m＋ni(m，n∈R)的形式，然后根据复数的相关概念判断命题是否正确．【尝试解答】(1)若ab＝0，则当a＝1，b＝0时，a＋bi是实数，不是纯虚数，若a＋bi是纯虚数，由a＋bi＝a－bi知a＝0，b≠0，∴ab＝0，因此“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．”(2)∵z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝（－1）2＋（－1）2＝2，∴p1是假命题；•∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；•∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；•∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．•其中的真命题共有2个：p2，p4.•【答案】(1)B(2)C•1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可．•2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．(1)(2013·广州模拟)设a是实数，且a1＋i＋1－i2是实数，则a＝()A.12B．－1C．1D．2(2)(2013·东莞质检)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件•【答案】(1)B(2)A【解析】(1)a1＋i＋1－i2＝a（1－i）（1＋i）（1－i）＋(12－12i)＝(a2＋12)－(a2＋12)i，由题意知a2＋12＝0，∴a＝－1.(2)若m＝1，则z1＝3－2i，从而z1＝z2.若z1＝z2，则m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，∴m＝－2或m＝1.从而“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．(1)(2012·安徽高考)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝()A．－1－iB．1－iC．－1＋3iD．1－2i(2)i为虚数单位，则(1＋i1－i)2011＝()A．－iB．－1C．iD．1【思路点拨】(1)先求z－i，再求z；(2)先化简1＋i1－i，再根据in的周期性求值．•【答案】(1)B(2)A【尝试解答】(1)z－i＝2＋ii＝（2＋i）（－i）i·（－i）＝1－2i，z＝i＋1－2i＝1－i.(2)(1＋i1－i)2011＝i2011＝i3＝－i.1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．•【答案】C(2013·深圳模拟)复数z1＝3＋4i，z2＝1＋i，i为虚数单位，若z22＝z·z1，则复数z等于()A．－825＋625iB．－825－625iC.825＋625iD.825－625i【解析】由z22＝z·z1得z＝z22z1＝（1＋i）23＋4i＝2i3＋4i＝2i（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝8＋6i25＝825＋625i.如图4－5－2，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→对应的复数，BC→对应的复数；(2)CA→对应的复数．【思路点拨】(1)AO→＝－OA→，BC→＝AO→，然后根据复数的几何意义求解；(2)根据复数减法的几何意义及CA→＝OA→－OC→求解．【尝试解答】(1)AO→＝－OA→，∴AO→对应的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→对应的复数为－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→，∴CA→对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)及向量OZ→一一对应，相等向量表示同一复数．2．复数加减法运算可借助向量的平行四边形法则和三角形法则进行．(2013·韶关模拟)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A、B、C，若OC→＝λOA→＋μOB→，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．【解析】由题意知3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)，∴3－4i＝(μ－λ)＋(2λ－μ)i，由复数相等知μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝－1＋2＝1.【答案】1•任意两个复数均为实数的充要条件是这两个复数能比较大小．应用复数相等的定义可进行复数与实数之间的相互转化．•复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．•从近两年的高考试题来看，复数的有关概念、复数的几何意义、复数的运算(特别是除法运算)是高考命题的重点，多以客观题形式呈现，属容易题，主要考查函数与方程、转化与化归的数学思想方法的应用．思想方法之十转化思想在复数中的应用(2012·湖北高考)若3＋bi1－i＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________．【解析】3＋bi1－i＝（3＋bi）（1＋i）2＝12[(3－b)＋(3＋b)i]＝3－b2＋3＋b2i.∴a＝3－b2，3＋b2＝b，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.【答案】3•易错提示：(1)对i的幂化简错误．•(2)不能用复数相等的定义转化为关于a，b的方程组求解．•防范措施：(1)掌握复数的有关概念是正确解答的基础，注意i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N＋)．•(2)应用复数相等的定义可进行复数与实数之间的相互转化，应用复数相等的定义必须将复数化为标准形式．•1．(2012·湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________．【解析】法一∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.法二∵z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i，∴|z|＝82＋62＝10.【答案】10•2．(2012·安徽高考)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝()•A．－2－2iB．－2＋2i•C．2－2iD．2＋2i【解析】因为z－i＝52－i＝5（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5（2＋i）5＝2＋i，所以z＝2＋i＋i＝2＋2i.【答案】D课后作业（三十）