3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)

第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式滑县第二高级中学吕许凤一．两角和与差的正、余弦公式怎样利用诱导公式推出sin(α±β)?提示：sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]＝cos(π2－α)cosβ＋sin(π2－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ，用－β代β得：sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.思议二．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式对任意的α，β均成立吗？提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用的条件是：α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)；使用两角差的正切公式时条件是：α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．求下列各式的值．(1)sin165°；(2)cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)．[提示]：(1)把非特殊角化为特殊角后，正用公式求解；(2)利用诱导公式调整后逆用公式．1、给角求值就是灵活正用，逆用公式化简求值的过程．三.公式的应用[解](1)法一：sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.法二：sin165°＝sin(180°－15°)＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.(2)∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°，(25°－x)＋(155°＋x)＝180°，∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°－(25°－x)]＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－sin(20°＋x)sin(25°－x)＝cos[(20°＋x)＋(25°－x)]＝cos45°＝22.1．化简下列各式：(1)sin(x＋π3)＋2sin(x－π3)－3cos(2π3－x)；(2)tan75°.展评解：(1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝(cosπ3＋2cosπ3－3sin2π3)sinx＋(sinπ3－2sinπ3－3cos2π3)cosx＝(12＋1－3×32)sinx＋(32－3＋32)cosx＝0.(2)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－1×33＝3＋33－3＝2＋3.在解决三角函数给值求值问题时，要注意以下两点：(1)先分析已知角与待求角之间的关系，再决定如何用已知条件，认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角等技巧．2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)，α＝(α＋π4)－π4等．类题通法(2)给值求值题有两个关键环节：①求出所求角的某种三角函数的值．②确定所求角的范围．[提示]利用平方关系sin2α＋cos2α＝1，求cosα和sinβ，再用两角的和与差的正弦公式求得．已知sinα＝13，cosβ＝－23，且α，β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．检评[解]因sinα＝13，cosβ＝－23，且α、β均在第二象限，故cosα＝－1－sin2α＝－1－132＝－223，sinβ＝1－cos2β＝1－－232＝53.所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝13×(－23)＋(－223)×53＝－2－2109.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝13×(－23)－(－223)×53＝－2＋2109.2．已知sinα＝35，α∈(0，π2)，tan(α－β)＝12，求tanβ及tan(2α－β)．练1解：∵α∈(0，π2)∴cosα＝1－sin2α＝1－352＝45，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝34＋121－34×12＝2.给值求角的问题，以下两个步骤缺一不可：(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．2.给值求角也是灵活正用，逆用公式化简求值的过程．已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α、β∈(－π，0)，求2α－β的值．[提示]由于条件中均为角的正切值，故考虑求tan(2α－β)的值进而根据α、β的范围求角2α－β.[解]∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171－12·－17＝13.∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tanα－β＋tanα1－tanα－βtanα＝12＋131－12×13＝1.由－πα0且tanα＝13得，－πα－34π.由－πβ0且tanβ＝－17得，－π4β0.∴－2π2α－β－54π，∴2α－β＝－74π.3．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β.练2解：由0βαπ2，得0α－βπ2.由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝437.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.课堂小结1、公式的推导2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式3、公式的简单应用