10.5-2非齐次方程的通解

若y(x)满足则0____)(4)0(,2)0(044dxxyyyyyy解：由20440442,12rrryyy故通解：xexCCxy221)()()2()()(22122xxexCCeCxy将初始条件代入可求得C1＝2，C2=0xexy22)(0022)(dxedxxyx102xe二、二阶常系数非齐次线性方程通解1、解的结构定理:)1(0qyypy)2()(xfqyypy定理1：非齐次的两个特解之差是齐次方程的解非齐次通解＝齐次通解＋非齐次特解定理2：2、非齐次方程特解的求法——试解函数检验法根据非齐次项，假设其解函数，检验后，求出待定系数，得其特解。试解函数Q(x)f(x)xcxcaxaxaeCnnnaxsincos21110xBxAbxbxbkeknnnaxsincos110说明:1、不论f(x)是几项多项式,Q(x)必须是“同次完全多项式”。2、不论f(x)是否只含正弦、余弦，Q(x)都要设为其线性组合。3、f(x)是两类函数乘积,Q(x)也是对应两类函数乘积若有，则将试解函数乘以x,再检验，直到没有同类项为止。最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。例1.求通解2482yyy解：特征方程,0822rr特征根,2,421rr对应的齐次方程的通解为.2241xxeCeCY设原方程的特解为,*ky检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？代入原方程得：0－0－8k=24k=-3原方程的一个特解为3*y故原方程的通解为.32241xxeCeCy例2.求通解xyyy82解：特征方程,0822rr特征根,2,421rr对应的齐次方程的通解为.2241xxeCeCY设原方程的特解为,*axy对吗？正确的原方程的特解为,*baxy代入原方程得：0－2a－8(ax+b)=xa=-1/8,b=1/32原方程的一个特解为32181*xy故原方程的通解为.321812241xeCeCyxx例3.求通解xeyyy482解：特征方程,0822rr特征根,2,421rr对应的齐次方程的通解为4212.xxYCeCe设原方程的特解为,4*xkey可以吗？重新设原方程的特解为,4*xexky原方程的一个特解为,614*xexy故原方程的通解为xxxexeCeCy4224161代入原方程比较系数得将)(,)(,***yyy61k求非齐次方程通解的步骤:1、求出对应齐次方程的通解Y2、假设试解函数（非常关键、包括检验）3、求出待定系数，得非齐次方程的一个特解4、利用定理得非齐次方程通解例4.方程有形如_______的特解xeyyy2xexk2例5.求xexyyy122解：特征方程,0122rr特征根,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY设原方程的特解为,)(23*xexbxay关键的一步原方程的一个特解为,23*xexy故原方程的通解为xxexexCCy3212)(代入原方程得将)(,)(,***yyyxxexebxa12)26(0202126baba例6.求xyycos解：特征方程,012r特征根,ir对应的齐次方程的通解为.sincos21xCxCY设原方程的特解为,)sincos(*xxbxay要注意代入原方程得将)(,**yyxxaxbcossin2cos22100212baab原方程的一个特解为xxysin2*故原方程的通解为xxxCxCysin2sincos21定理3设非齐次方程(2)的右端)(xf是几个函数之和,如)()(21xfxfqyypy而*1y与*2y分别是方程,)(1xfqyypy)(2xfqyypy的特解,那么*2*1yy就是原方程的特解.解的叠加原理).2cos(214xxyy求解方程例7解特征方程,042r特征根,22,1ir对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy,)1(*1baxy设,)(*1ay则,0)(*1y，得代入xyy214，xbax2144由，04b，214a解得，0b，81a;81*1xy),2sin2cos()2(*2xdxcxy设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy，得代入xyy2cos214，xbax2144原方程的特解为.2sin8181*2*1*xxxyyy,2cos212sin42cos4xxcxd由，04c，214d即，81d，0c;2sin81*2xxy故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy作业：P4066(1,4,5)8