2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.2.2三角恒等变换与解三角形

第一部分高考专题串串讲第一版块专题知识突破专题二三角函数、平面向量考情分析真题体验第二讲三角恒等变换与解三角形知识方法考点串联高频考点聚焦突破多维探究师生共研考情分析·真题体验明确备考方向实战高考真题考情剖析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、平面向量及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下本部分知识综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，或三角函数与平面向量相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，但在解答题中仅考解三角形知识次数很少．主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视.真题感悟1.(2014·课标全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2解析∵tanα＝1＋sinβcosβ＝cosβ2＋sinβ22cos2β2－sin2β2＝cosβ2＋sinβ2cosβ2－sinβ2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tanπ4＋β2，且0απ2，π4π4＋β2π2.∴α＝π4＋β2，即2α－β＝π2.选B.答案B2．(2014·课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1解析由三角形面积公式得S△ABC＝12AB·BC·sinB＝12×1×2×sinB＝12，解得sinB＝22，又因△ABC为钝角三角形，所以cosB＝－22(否则cosB＝22，B＝π4，由余弦定理得，AC＝1，此时△ABC为直角三角形，不符合题意)，再由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(2)2－2×1×2×－22＝5，即AC＝5.答案B3．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π3B.π4C.π6D.π12解析由2asinB＝3b得2sinAsinB＝3sinB，得sinA＝32，所以锐角A＝π3.答案A4．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________.解析解法一：由射影定理知bcosC＋ccosB＝a，从而a＝2b，∴ab＝2.解法二：由正弦定理得：sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB，∴sinA＝2sinB，即a＝2b，∴ab＝2.解法三：由余弦定理得：b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2b，即2a2＝4ab，∴a＝2b，即ab＝2.答案25．(2014·课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．解析f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ＋φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ－φ)＝sinx所以最大值为1.答案1知识方法·考点串联连点串线成面构建知识体系1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a:b:c＝sinA:sinB:sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．高频考点·聚焦突破热点题型剖析构建方法体系考点一三角恒等变换及求值【例1】(2013·广东卷)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求f－π6的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.课堂笔记(1)因为f(x)＝2cosx－π12，所以f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝2×22＝1.(2)因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－725，sin2θ＝2sinθcosθ＝2×35×－45＝－2425.所以f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝2×22cos2θ－22sin2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725－－2425＝1725.[方法规律](1)三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”、“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值．(2)求解三角函数中的给值求值问题时，要注意两点：一是分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角；二是正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中的给值求角问题时，还是要通过已知求这个角的某种三角函数值，根据三角函数值并结合角的取值范围，即可求出角的大小.对点训练1.已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝()A．－255B．－3510C．－31010D.255解析由tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2α0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinαsinα＋cosα22sinα＋cosα＝22sinα＝－255.答案A2．已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0βπ4απ2，则α＋β的值为________．解析∵cos(2α－β)＝－1114且π42α－βπ，∴sin(2α－β)＝5314.∵sin(α－2β)＝437且－π4α－2βπ2，∴cos(α－2β)＝17.∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.∵π4α＋β3π4，∴α＋β＝π3.答案π3考点二正弦定理和余弦定理【例2】(2014·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．课堂笔记(1)如题图，在△ADC中，由余弦定理得，cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD.故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－2772＝217，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－7142＝32114.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD＝32114×277－－714×217＝32.在△ABC中，由正弦定理得，BCsinα＝ACsin∠CBA.故BC＝AC·sinαsin∠CBA＝7×32216＝3.[方法规律]关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.对点训练3.(2014·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.解析先由正弦定理求出sinB，再求角B.关键在于对解的个数的判断．由正弦定理，得asinA＝bsinB.把A＝π6，a＝1，b＝3代入，解得sinB＝32.因为ba，所以BA，结合题意可知B＝π3或2π3.答案π3或2π34.(2014·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.考点三正弦定理和余弦定理的实际应用【例3】(2014·浙江卷)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)课堂笔记先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值．如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.设CO＝xm，则OP＝33xm.在Rt△ABC中，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝20m．所以cos∠BCA＝45.所以AO＝625＋x2－2×25x×45＝x2－40x＋625(m)．所以tanθ＝33xx2－40x＋625＝331－40x＋625x2＝3325x－452＋925.当25x＝45，即x＝1254时，tanθ取得最大值为3335＝539.答案539[方法规律](1)该题求解的关键是根据题意构建三角形，要把需求量转化到同一个三角形(或相关三角形)中，运用正(