福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第21讲 简单的三角恒等变换

综合运用三角公式进行三角变换，常用的变换：变换角度、变换名称、变换解析式结构．12——三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值．依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次三角化简．求值．降次．常见的有给变换的基本题型化简、求值和证明角求值，给值求值，给值求角．()3①给角求值的关键是正确地分析角已知角与未知角之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值．②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值．③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左证明．；左右互推．1.定义运算a⊕b＝a2－ab－b2，则sinπ6⊕cosπ6＝()A．－12＋34B．－12－34C．1＋34D．1－34【解析】sinπ6⊕cosπ6＝sin2π6－sinπ6cosπ6－cos2π6＝－12－34.2.(2012·永州模拟)若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝()A．3－cos2xB．3－sin2xC．3＋cos2xD．3＋sin2x【解析】因为f(sinx)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，所以f(x)＝2＋2x2，所以f(cosx)＝2＋2cos2x＝3＋cos2x.3.若1＋tanx1－tanx＝2013，则1cos2x＋tan2x的值为2013.【解析】1cos2x＋tan2x＝1＋sin2xcos2x＝sinx＋cosx2cos2x－sin2x＝cosx＋sinxcosx－sinx＝1＋tanx1－tanx＝2013.4.已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)的值是322.【解析】tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋β·tanβ－π4＝25－141＋25·14＝322.5.已知α∈(π2，π)，化简21－sinα＋2＋2cosα＝2sinα2.【解析】因为21－sinα＋2＋2cosα＝2sinα2－cosα22＋4cos2α2＝2|sinα2－cosα2|＋2|cosα2|，且α2∈(π4，π2)，所以原式＝2(sinα2－cosα2)＋2cosα2＝2sinα2.一通过恒等变形后的求值问题【例1】(2011·广东卷)已知函数f(x)＝2sin(13x－π6)，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．【解析】(1)f(0)＝2sin(－π6)＝－2sinπ6＝－1.(2)因为1013＝f(3α＋π2)＝2sin[13×(3α＋π2)－π6]＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin[13×(3β＋2π)－π6]＝2sin(β＋π2)＝2cosβ，所以sinα＝513，cosβ＝35，又α、β∈[0，π2]，所以cosα＝1－sin2α＝1－5132＝1213，sinβ＝1－cos2β＝1－352＝45，故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×35＋1213×45＝6365.【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的联系．已知：0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．素材1【解析】因为3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，所以3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)·cosα＋cos(α＋β)sinα，所以2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，即tan(α＋β)＝2tanα.又4tanα2＝1－tan2α2⇒tanα＝2tanα21－tan2α2＝12，所以tan(α＋β)＝1，又0＜α＋β＜π2，所以α＋β＝π4.二三角恒等式的证明【例2】(1)已知2sinβ＝sinα＋cosα，sin2γ＝2sinα·cosα.求证：cos2γ＝2cos2β；(2)已知5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0.【证明】(1)4sin2β＝1＋2sinαcosα，所以4sin2β＝1＋sin2γ，所以1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)，即cos2γ＝2cos2β.(2)因为5sinα＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所以5sin(α－β)·cosβ＋5cos(α－β)·sinβ＝3sin(α－β)·cosβ－3cos(α－β)·sinβ，所以2sin(α－β)·cosβ＋8cos(α－β)·sinβ＝0，依题意知，β≠kπ＋π2，α－β≠kπ＋π2，k∈Z.所以tan(α－β)＋4tanβ＝0.【点评】(1)结论中不含α，所以从条件中消去α即可．(2)把条件中的角进行拆拼，使出现α－β，α，实现已知角向未知角转化即可．求证：sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1sin2x＝tanx2.素材2【解析】sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1sin2x＝sinx＋1－2sin2x2－1sinx－1＋2sin2x2＋1sin2x＝2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x24sinx2cosx2cosx＝cosx2－sinx2cosx2＋sinx2·sinx2cosx2cosx＝cos2x2－sin2x2sinx2cosx2·cosx＝cosx·sinx2cosx2·cosx＝tanx2.三解综合问题【例3】已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求3sin2x2－2sinx2cosx2＋cos2x2tanx＋1tanx的值．【解析】(1)方法1：由sinx＋cosx＝15，得2sinxcosx＝－2425，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.因为－π2＜x＜0，所以sinx＜0，cosx＞0，sinx－cosx＜0.所以sinx－cosx＝－75.方法2：由sinx＋cosx＝15sin2x＋cos2x＝1得25cos2x－5cosx－12＝0(－π2＜x＜0)，解得cosx＝45或cosx＝－35(舍去)，所以sinx＝－35，所以sinx－cosx＝－75.(2)3sin2x2－2sinx2cosx2＋cos2x2tanx＋1tanx＝2sin2x2－sinx＋1sinxcosx＋cosxsinx＝sinxcosx·(2－cosx－sinx)＝－1225×(2－15)＝－108125.【点评】(1)由sinx＋cosx的值，求sinx－cosx的值是常规问题，对于较复杂的问题，可通过解方程组：sinx＋cosx＝？或sinx－cosx＝？sin2x＋cos2x＝1求出sinx、cosx的值后再进行解决．(2)切化弦、平方、降次、活用公式是化简、求值常用的方法．已知sin2α＝35，α∈(5π4，3π2)．(1)求cosα的值；(2)求满足sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cosα＝－1010的锐角x.素材3【解析】(1)因为5π4α3π2，所以5π22α3π.所以cos2α＝－1－sin22α＝－45.由cos2α＝2cos2α－1，所以cosα＝－1010.(2)因为sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cosα＝－1010，所以2cosα(1－sinx)＝－1010，所以sinx＝12.因为x为锐角，所以x＝π6.备选例题化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2α·cos2β.【解析】方法1：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝12.方法2：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α)＝12(1＋cos2β)－cos2β(1－cos2α2＋cos2α2)＝12.方法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12·cos2α·cos2β＝12.方法4：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式＝(sinα·sinβ－cosαcosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－12cos2αcos2β＝cos2(α＋β)＋12sin2α·sin2β－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)－12cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－12[2cos2(α＋β)－1]＝12.【点评】三角函数化简一般先看角的变换，再需三角函数名称的变换，然后是幂及解析式结构的变换，思路为：①统一函数名称，一般有弦化切与切化弦；②统一角度，即涉及单角、倍角、半角、等角时，可根据具体情况由倍角公式及其变形将角化为同一个角；③统一次数，即式子中各项的次数大小不一时，可考虑升幂或降幂，使各项次数统一．123三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：同角三角函数关系——可实现函数名称的转化．诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现角的形式的转化．倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化．