福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第23讲 三角函数的性质

 1.理解三角函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性与周期性；2.会判断简单三角函数的奇偶性；会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及其周期；3.熟悉三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．1．基本三角函数的性质1sin(0)()()22cos(0)()2()3ta2.sincos.n3(0)()2yxkkxkkyxkkxyAxbyAxbkkkyxkAbAbZZZZZ　的对称中心为，；对称轴为．的对称中心为，；对称轴函数和的最大值为，最小值为为．的对．对称性称中心为，；无对称轴．1.函数f(x)＝2sin(x3－π4)(x∈R)的最小正周期为()A.π3B.π2C．3πD．6π【解析】由周期公式T＝2π13＝6π.2.下列函数中，在[π2，π]上是增函数的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝tanxD．y＝cos2x【解析】y＝sinx和y＝cosx在[π2，π]上是减函数，y＝tanx在x＝π2时无定义，y＝cos2x在[π2，π]上是增函数，故选D.3.(2012·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(π2－x)，下面结论错误的是()A．函数的最小正周期为2πB．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称C．函数f(x)为奇函数D．函数f(x)在[0，π2]上为减函数【解析】f(x)＝sin(π2－x)＝cosx，为偶函数．4.函数y＝sin(x＋π4)，x∈(－π2，π2)的值域是(－22，1].【解析】因为x∈(－π2，π2)，所以x＋π4∈(－π4，3π4)，所以由正弦函数的图象可得y∈(－22，1]，故填(－22，1]．易错点：没有结合正弦函数的图象，直接代入端点求值．5.若函数y＝asinx＋b(a0)的最大值是3，最小值是－1，则a＝2，b＝1.【解析】由已知得a＋b＝3－a＋b＝－1，解得a＝2b＝1，故填a＝2，b＝1.一三角函数的对称性、奇偶性【例1】(1)已知f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)为偶函数，求θ的值；(2)求f(x)＝sin(2x＋π3)的对称轴方程，对称点坐标．【解析】(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则有sin(－x＋θ)＋3cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)，即sin(x＋θ)＋sin(x－θ)＝3cos(x＋θ)－3cos(x－θ)，所以2sinxcosθ＝－23sinxsinθ.因为该式对一切实数x都成立．所以tanθ＝－33，于是θ＝kπ－π6(k∈Z)．(2)由2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π12(k∈Z)，即为所求对称轴方程．由2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2－π6，即对称点坐标为(kπ2－π6，0)(k∈Z)．【点评】(1)对于奇偶函数的问题，一般都要根据定义列出等式，从而寻求解题途径．对于本题，列出的是含有x、θ的方程，并不能立即求出θ，解决这类问题的方法是边化简，边探索，边求解．同时，若f(x)＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)为奇函数，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)为偶函数，当φ≠kπ2(k∈Z)时，f(x)为非奇非偶函数．(2)对称轴为直线、对称点为图象平衡位置点，常混淆，应找准y＝sinx，y＝cosx的对称性，再整体代换．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)．(1)y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝5π8，求φ；(2)y＝f(x)为偶函数，求φ；(3)若φ＝kπ(k∈Z)，试证明y＝f(x)为奇函数．素材1【解析】(1)因为x＝5π8是函数y＝f(x)的一条对称轴，则当x＝5π8时，y取最值，所以sin(2×5π8＋φ)＝±1，所以5π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．又－πφ0，所以φ＝－3π4.(2)由f(x)为偶函数，则当x＝0时，y取最值，所以sin(2×0＋φ)＝±1，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)．又－πφ0，所以φ＝－π2.(3)因为f(x)的定义域为R，即定义域关于原点对称；当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋kπ)＝sin2xk为偶数－sin2xk为奇数.又f(－x)＝sin－2xk为偶数－sin－2xk为奇数＝－sin2xk为偶数sin2xk为奇数＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数．二三角函数的值域与最值【例2】(1)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，x∈[0，π2]，求f(x)的值域．(2)求函数y＝sinxcosx＋cosx＋sinx的最大值和最小值．【解析】(1)f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]，所以－12≤sin(2x＋π6)≤1，所以－1≤f(x)≤2.故f(x)的值域为y∈[－1,2]．(2)令t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋2sinxcosx，所以sinxcosx＝t2－12，又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，所以|t|≤2，所以y＝12(t2－1)＋t＝12(t＋1)2－1，当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝2时，ymax＝1＋222.【点评】(1)利用三角函数公式将所给式子转化为y＝Asin(ωx＋φ)的结构，再求其最值．(2)将求三角函数的最值，转化为求二次函数的最值，要注意换元后变量的取值范围．素材2已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．【解析】(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝23时，f(x)取最小值－73.三三角函数的单调性【例3】(1)求函数y＝12sin(π4－2x3)的单调递增区间为()A．[3kπ＋9π8，3kπ＋21π8](k∈Z)B．[3kπ－3π8，3kπ＋9π8](k∈Z)C．[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(2)函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A．(π2，3π2)B．(π，2π)C．(3π2，5π2)D．(2π，3π)【解析】(1)y＝12sin(π4－2x3)＝－12sin(2x3－π4)，由2kπ＋π2≤2x3－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得3kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k∈Z)为单调增区间．所以递增区间为[3kπ＋9π8，3kπ＋21π8](k∈Z)．选A.(2)y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.若y＝f(x)在某区间是增函数，只需在此区间内y′大于或等于0即可．故应选B.【点评】(1)求三角函数的单调区间时，首先要看ω是否为正，若为负，则应先使用诱导公式化为正，然后再根据基本的三角函数求解．(2)导数作为一个新的工具，在解决函数单调性、最值等问题时有其独到之处．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0φπ，ω0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.素材3(1)求f(π8)的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．【解析】(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2[32sin(ωx＋φ)－12cos(ωx＋φ)]＝2sin(ωx＋φ－π6)．因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin(－ωx＋φ－π6)＝sin(ωx＋φ－π6)，即－sinωxcos(φ－π6)＋cosωxsin(φ－π6)＝sinωxcos(φ－π6)＋cosωxsin(φ－π6)，整理得sinωxcos(φ－π6)＝0.因为ω0，且x∈R，所以cos(φ－π6)＝0.又因为0φπ，故φ－π6＝π2，所以f(x)＝2sin(ωx＋π2)＝2cosωx.由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此f(π8)＝2cosπ4＝2.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到f(x－π6)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(x4－π6)的图象．所以g(x)＝f(x4－π6)＝2cos[2(x4－π6)]＝2cos(x2－π3)．当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋2π3，4kπ＋8π3](k∈Z)．备选例题(2011·四川卷)已知函数f(x)＝sin(x＋7π4)＋cos(x－3π4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2.求证：[f(β)]2－2＝0.【解析】(1)f(x)＝sin(x＋7π4－2π)＋sin(x－3π4＋π2)＝sin(x－π4)＋sin(x－π4)＝2sin(x－π4)．所以T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cosαcosβ＋sinαsinβ＝45，cosαcosβ－sinαsinβ＝－45，两式相加得2cosαcosβ＝0，因为0＜α＜β≤π2，所以β＝π2，故[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.1121fxfx首先看定义域是否关于原点对称；．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：在满足后，再看与的关系．1sin()(00)22(2)22322222yAwxAwwxFkwxkkxkwxkxZ函数，的单调区间的确定，其基本思想是把看作一个整体，由解出的范围，所得区间为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．比较三角函数的大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数；③利用．三角函数的单调函数的单性调性导出结果．