福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第28讲 平面向量的应用

掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用.平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力.1.向量中“数与形”转化化归思想向量既有大小，又有方向，兼备“数”“形”双重特点.向量运算均有相应的几何性质，因此有关几何性质的问题可通过向量或其运算转化化归为代数问题分析、探究.2.向量的工具性作用线段的长,直线的夹角,有向线段的分点位置，图形的平移变换均可用向量形式表示,从而向量具有工具性作用.可以用向量来研究几何问题,利用其运算可以研究代数问题.3.向量载体的意义函数、三角函数、数列、解析几何问题常常由向量形式给出，即以向量为载体，通过向量的坐标运算转化化归为相应的函数、三角函数、数列、解析几何问题，这就是向量载体的意义.这类问题情境新颖，处在知识的交汇点，需要综合应用向量、函数、三角函数、数列、解析几何知识分析、解决问题.1.在△ABC中，有命题：①AB→－AC→＝BC→；②AB→＋BC→＋CA→＝0；③若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AB→·AC→0，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是()A．①②B．①④C．②③D．②③④【解析】在△ABC中，AB→－AC→＝CB→，故①错；由闭合向量和为零向量可知，②正确；③中(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→2－AC→2＝0，则AB＝AC，故为等腰三角形，故③正确；若AB→·AC→0，则∠A∈(0,90°)，但∠B，∠C不一定为锐角，故不一定为锐角三角形，故选C.2.已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2【解析】F1＋F2＝(1,2lg2)，W＝(F1＋F2)·s＝2lg2＋2lg5＝2，故选D.3.已知A、B、C是△ABC的三个顶点，AB→2＝AB→·AC→＋AB→·CB→＋BC→·CA→，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】AB→2＝AB→·(AC→＋CB→)＋BC→·CA→＝AB→2＋BC→·CA→所以BC→·CA→＝0，即BC⊥AC.4.已知向量a＝(3sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，则a·b的最大值为2.【解析】a·b＝3sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π6)≤2，故a·b的最大值为2.5.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝6.【解析】设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则F为△ABC的重心，所以A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，所以|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝(xA＋1)＋(xB＋1)＋(xC＋1)＝6，故填6.易错点：不能从FA→＋FB→＋FC→＝0得出F为△ABC的重心，造成计算量增大，甚至失去解题方向．一用向量解决平面几何问题【例1】如图所示，若点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.【分析】要证明AD⊥BC，则只需证明AD→·BC→＝0，可设AD→＝m，AB→＝c，AC→＝b，通过向量的运算解决．【证明】设AB→＝c，AC→＝b，AD→＝m，则BD→＝AD→－AB→＝m－c，CD→＝AD→－AC→＝m－b.因为AB2＋CD2＝AC2＋BD2，所以c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，即2m·(c－b)＝0，即AD→·(AB→－AC→)＝0，所以AD→·CB→＝0，所以AD⊥BC.【点评】(1)一般情况下，用向量解决平面几何问题，要用不共线的向量表示题目所涉及的所有向量，再通过向量的运算法则和性质解决问题．(2)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．③把运算结果“翻译”成几何关系．已知向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18，求c边的长．素材1【解析】(1)m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C,0Cπ，所以sin(A＋B)＝sinC，所以m·n＝sinC.又因为m·n＝sin2C，所以sin2C＝sinC，所以cosC＝12，故C＝π3.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC＝sinA＋sinB，所以2c＝a＋b.因为CA→·(AB→－AC→)＝18，所以CA→·CB→＝18，即abcosC＝18，即ab＝36.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，则c2＝36，所以c＝6.二向量在物理中的应用【例2】已知两个恒力F1＝i＋2j，F2＝4i－5j，作用于同一个质点，由点A(20,15)移动到点B(7,0)，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功．【解析】(1)因为A(20,15)，B(7,0)，所以AB→＝(7－20,0－15)＝(－13，－15)．因为i⊥j，F1对质点所做的功W1＝F1·AB→＝(i＋2j)·(－13i－15j)＝－13i2－41i·j－30j2＝－43(焦耳)．F2对质点所做的功W2＝F2·AB→＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23(焦耳)．(2)方法1：因为F＝F1＋F2＝5i－3j，W＝F·AB→＝(5i－3j)·(－13i－15j)＝－65i2－36i·j＋45j2＝－20(焦耳)．方法2：W＝W1＋W2＝－43＋23＝－20(焦耳)．【点评】用向量知识解决有关物理问题．一般先把问题中的相关量用向量表示，然后转化为向量问题模型(三角形法则、平行四边形法则或数量积)，然后通过向量运算使问题获解，最后将结果还原为物理问题．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6B．2C．25D．27素材2【解析】如图所示，F3的大小等于F1、F2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB中OB的长就是F1、F2的合力的大小，且在△OAB中，∠OAB＝120°，OB＝F21＋F22－2F1·F2cos120°＝28＝27，即F3为27.三向量与三角函数综合题【例3】(2012·微山一中)已知向量a＝(cos3θ2，sin3θ2)，b＝(cosθ2，－sinθ2)，θ∈[0，π3]．(1)求a·b|a＋b|的最大值和最小值；(2)若|ka＋b|＝3|a－kb|(k∈R)，求k的取值范围．【解析】a·b＝cos32θcosθ2－sin3θ2sinθ2＝cos2θ，|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos2θ＝4cos2θ，所以|a＋b|＝2cosθ(θ∈[0，π3])，所以a·b|a＋b|＝cos2θ2cosθ＝2cos2θ－12cosθ.令t＝cosθ，t∈[12，1]，y＝a·b|a＋b|＝2t2－12t＝t－12t(t∈[12，1])，y′＝1＋12t20，所以y＝t－12t在[12，1]上递增．所以ymax＝1－12×1＝12，ymin＝12－12×12＝－12.(2)由|ka＋b|＝3|a－kb|有(ka＋b)2＝3(a－kb)2，即k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2－2ka·b＋k2b2)，又|a|＝|b|＝1，所以k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，所以a·b＝1＋k24k.由a·b＝cos2θ，θ∈[0，π3]有－12≤a·b≤1，所以－12≤1＋k24k≤1.所以1＋k24k＋12≥01＋k24k－1≤0⇒k＋124k≥0k2－4k＋14k≤0⇒k＝－1或k0k0或2－3≤k≤2＋3⇒k＝－1或2－3≤k≤2＋3.综上所述，k的取值范围为{k|k＝－1或2－3≤k≤2＋3}．【点评】平面向量与三角函数的整合是高考命题的热点之一，一般根据向量的运算性质(如数量积)将向量特征转化为三角问题．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0θπ，求θ的值．素材3【解析】(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0θπ知，π42θ＋π49π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.备选例题设x、y∈R，向量a＝(x＋3，y)，b＝(x－3，y)，且|a|＋|b|＝4.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点P(0,2)作直线l交曲线C于A、B两点，又O为坐标原点，若OA→·OB→＝125，求直线l的倾斜角．【解析】(1)由已知得：x＋32＋y2＋x－32＋y2＝4.设F1(－3，0)，F2(3，0)，则有|MF1|＋|MF2|＝4，又|F1F2|＝23，所以|MF1|＋|MF2|＞|F1F2|，轨迹C是以F1、F2为焦点，长轴长为4的椭圆，所以曲线C的方程是x24＋y2＝1.(2)过点P的直线若垂直于x轴，则OA→·OB→＝－1，不符合要求，故可设l：y＝kx＋2，代入x24＋y2＝1，整理可得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，由Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，得k2＞34.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－16k1＋4k2，x1x2＝121＋4k2，所以y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝k2·121＋4k2＋2k(－16k1＋4k2)＋4＝－4k2＋41＋4k2，又OA→·OB→＝125，即x1x2＋y1y2＝125，亦即121＋4k2＋－4k2＋41＋4k2＝125，解得k2＝1，k＝±1.所以直线l的倾斜角为π4或3π4.1．由于向量具有“数”“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与函数、三角函数、数列、解析几何知识相结合，综合解决相关问题．2．利用化归思想将共线、平行、垂直、平移变换及定比分点向向量的坐标运算方向转化，线段的长、夹角向向量数量运算转化，建立几何与代数之间互相转化的桥梁．