福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第41讲 简单的线性规划问题

1．理解线性约束条件、线性目标函数、线性规划的概念；2．掌握在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；3．了解线性规划问题的图解法；4．掌握应用简单的线性规划解决生产实际中资源配置和降低资源消耗等问题，培养建立数学模型的能力．(100())0()AxByCAxByCAxByC标线侧点组组区区边线区边线一般地，二元一次不等式在平面直角坐系中表示直某一的所有成的平面域半平面不含界；不等式所表示的平面域1.二半平元面一次不包等括式表示平面域界的．0020(0)0()______________________3AxByCAxByCAxByCxy区时线侧点将标该点标满①区满这个点区②区个组组区个区判定不等式或所表示的平面域，只要在直的一任意取一，，它的坐代入不等式，如果的坐足不等式，不等式就表示的平面域；如果不足不等式，就表示所在域的的平面域．由几不等式成的不等式表示的平面域是各不等式所表示的平面域的公共部分．()_____________________________2_xy线标数线约条问题统称为线规问题满线约条③组④标数⑤产实际许问题归结为线规规题线问求性目函在性束件下的最大值或最小值的，性划．足性束件的解，叫做，由所有可行解成的集合叫；使目函取最大值或最小值的可行解叫做，生中有多．性划都可以性划．123()4()5()()6()xyzfxyfxyttfxytt线规问题图骤题设变线约条线标数画约条区区线标数线为参数观图线给性划一般用解法，其步如下：根据意，出量、；找出性束件；确定性目函，；出可行域即各束件所示域的公共域；利用性目函作平行直系，；察形，找到直，在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，出答案．①该点所在一侧；②另一侧；③可行解；④可行【要点指南】：域；⑤最优解1.不等式组x－3y＋6≥0x－y＋20表示的平面区域是(B)2.(2010·吉林联考)若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是()A．m－5或m10B．m＝－5或m＝10C．－5m10D．－5≤m≤10【解析】由已知两点在直线的两侧，则(2＋3＋m)(－8－2＋m)0，即(m＋5)(m－10)0，所以－5m10，选C.3.设集合A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()【解析】由三角形三边的关系得不等式组：x＋y＞1－x－yx＋1－x－y＞yy＋1－x－y＞xx＞0y＞0，化简得x＋y＞120＜x＜120＜y＜12，它表示的平面区域为A选项的区域．4.(2011·新课标全国卷)若变量x、y满足约束条件3≤2x＋y≤96≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为－6.【解析】画出平面区域，如图所示的矩形ABCD，且A(3，－3)，B(4，－5)，C(6，－3)，D(5，－1)，平移目标直线z＝x＋2y，当过点B(4，－5)时，纵截距最小，zmin＝4＋2×(－5)＝－6.5.设m＞1，在约束条件y≥xy≤mxx＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为3.【解析】画出不等式组表示的平面区域如图，平移直线z＝x＋5y，易知在A处取最大值．方法1：y＝mxx＋y＝1⇒x＝1m＋1y＝mm＋1，则1m＋1＋5mm＋1＝4⇒m＝3.方法2：由在A处取得最大值4，即点A是x＋y＝1与x＋5y＝4的交点，易知A(14，34)，又点A在y＝mx上，故m＝3.一线性规划与平面区域【例1】画出不等式组x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点(横、纵坐标都为整数)?(3)求所围平面区域的面积．【解析】(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的平面区域．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3上及左方的平面区域．所以，不等式组x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈[－52，3]，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5－2≤x≤3，且x∈Z.当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)由(1)知，x∈[－52，3]，y∈[－3,8]，所以S＝12(3＋52)(3＋8)＝1214.【点评】作出平面区域，注意变量范围，并分析其构成是准确数整点和求面积的关键．已知点A(1，－1)，B(5，－3)，C(4，－5)，则表示△ABC的边界及其内部的约束条件是x＋2y＋1≤02x－y－13≤04x＋3y－1≥0.素材1【解析】写出三边所在直线方程，再结合图形可得．二线性规划下的最值【例2】已知x，y满足约束条件x≥1x－3y≤－43x＋5y≤30.(1)求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值；(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；(3)求z＝y＋5x＋5的取值范围．【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图：作直线l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取得最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取最大值，解x＝1x－3y＝－4得A(1，53)，解x－3y＝－43x＋5y＝30得B(5,3)．所以zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋53＝113.(2)一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点，即最优解有无数个．又kBC＝－35，所以－a＝－35，所以a＝35.(3)z＝y＋5x＋5＝y－－5x－－5可看作区域内的点(x，y)与点D(－5，－5)连线的斜率．由图可知，kBD≤z≤kCD，因为kBD＝3＋55＋5＝45，kCD＝275＋51＋5＝2615，所以z＝y＋5x＋5的取值范围是[45，2615]．【点评】(1)求线性目标函数在线性约束条件下的最值是一类最基本题型，通过平移目标函数通过平面区域，并由直线在y轴上纵截距的大小，探求z的最值；(2)求非线性目标函数的最值，应通过转化、寻找模型求解．如y＝ay＋bcx＋d＝ac·y－－bax－－dc，从而转换为动点(x，y)与定点(－dc，－ba)的斜率；y＝x－a2＋y－b2转化为距离等．设实数x、y满足x－y－2≤0x＋2y－4≥02y－3≤0，则yx的最大值是32.素材2【解析】不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设yx＝t，则y＝tx，求yx的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．由x＋2y－4＝02y－3＝0，解得A(1，32)．代入y＝tx，得t＝32.所以yx的最大值为32.三线性规划的实际应用【例3】某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过90000元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为3000元和2000元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元．由题意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.)目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.)作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立x＋y＝3005x＋2y＝900)，解得x＝100，y＝200.所以点M的坐标为(100,200)．所以zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【点评】解决线性规划应用问题的一般步骤：①认真审题分析，设出有关未知数，写出线性约束条件和目标函数；②根据线性规划问题的求解方法求出最优解；③检验回答所求．某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品需要电力5千瓦时，煤3吨，劳动力5人，获利700元；生产1吨乙产品需要电力6千瓦时，煤6吨，劳动力3人，获利900元．该厂现有工人150人，电力负荷180千瓦时，煤150吨，问这两种产品各生产多少吨时，才能获得最大的经济效益？素材3【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元，依题意可得：5x＋6y≤1803x＋6y≤1505x＋3y≤150x≥0y≥0，目标函数z＝700x＋900y.作出可行域(如右图中阴影部分)和目标函数的等值线(如图中的虚线)．所以当目标函数的等值线经过点A(15，352)时，目标函数z取最大值26250元．答：生产甲产品15吨，乙产品17.5吨时可获得最大的经济效益．备选例题已知x，y∈R，且x＋2y≥1，则二次函数式u＝x2＋y2＋4x－2y的最小值为()A．－3B.125C．24D．－245【解析】因为x，y∈R，且x＋2y≥1，所以表示的平面区域如图所示，函数y＝x2＋y2＋4x－2y＝(x＋2)2＋(y－1)2－5＝(x＋22＋y－12)2.x＋22＋y－12的最小值可以理解为在区域x＋2y≥1内任取一点Q(x，y)到点P(－2,1)的距离的最小值．故x＋22＋y－12的最小值为d＝|－2＋2－1|1＋4＝55的最小值为(55)2－5＝－245，故选D.【点评】本例利用解决线性规划的基本思想方法——图解法，解决非线性规划问题．图解法的本质是数形结合，也就是利用图形的形象直观来确定最优解．类似也可利用这一思想方法解决相关问题，其关键是由“式”的结构特征联想它的几何意义．——简单线规问题数学识题热点数结载图组标数从获图实质数结两运线约条将标数转为线进过简为线的性划是高中的主干知，也是近年高考命的，是形合思想的体之一．作求解：作出不等式所表示的可行域，确定目函的最优位置，而得最优解．解法的是形合思想的次用：第一次是由所得的性束件，作出可行域；第二次是目函化平行直系行探究．此程可述“可行域直系最优解”．