3.1维随机变量的联合分布与边缘分布

第三章多维随机变量及其分布第二节二维离散型随机变量第三节二维连续型随机变量第一节二维随机变量的联合分布与边缘分布第四节两个随机变量函数的分布第五节n维随机变量一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.引入在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如：在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.例如：研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高X,体重Y,这里,X和Y是定义在同一个样本空间S={某地区全部学龄前儿童}上的两个随机变量.在这种情况下,我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律,而且还要研究它们之间的统计相依关系,因而还需考察它们联合取值的统计规律,即多维随机变量的分布.二二维随机变量的分布函数一二维随机变量的定义四小结思考题三边缘（概率）分布第一节二维随机变量的联合分布与边缘分布1.定义:设E是一个随机试验，它的样本空间是设和是定义在上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量，或二维随机变量。)(XX)(一、二维随机变量的定义维随机向量；二维随机变量也称为二⑴YXYX，，之间是有联系的；与看作一个整体，因为YX注:的随机点．可看作平面上，量在几何上，二维随机变⑶YX.的分布函数，量为二维随机变的函数．我们称此函数，是YXyxyYxXPyxF，，1.定义二、二维随机变量的分布函数2.二元分布函数的几何意义概率．上顶点的无穷矩形中的为右，落在以，点表示平面上的随机，义是：二元分布函数的几何意yxYXyxF3.分布函数具有以下的基本性质：对于任意固定的Y,对于任意固定的X,,1),(0yxF;0),(yF;0),(xF.1),(;0),(FF2)1)且3)F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续.F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当时，对于任意固定的x,当时，21yy);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF21xx4).0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）．二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.定义：X和Y的概率分布分别称为（X,Y）关于X或Y的边缘（概率）分布二者之间有什么关系呢?先看如何由联合分布来确定两个边缘分布可以相互确定吗？思考:三、边缘（概率）分布1.边缘（概率）分布边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数),(yxF确定。事实上，),(},{}{)(xFYxXPxXPxFX即),()(xFxFX同理可得)()(yFxFY，量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有yx,有}{}{},{yYPxXPyYxXP即)()(),(yFxFyxFYX则称随机变量X和Y是相互独立的。及),(yxF)(,)(yFxFYX分别是二维随机变定义设例i的联合分布函数为，设二维随机变量YX5arctan22arctan212yxyxF，yx，是否相互独立？与试判断YX解：的边缘分布函数为XyxFxFyX，lim5arctan22arctan21lim2yxy2arctan21x，x的边缘分布函数为YyxFyFxY，lim5arctan22arctan21lim2yxxyFxFYX5arctan21y，y，有，所以，对于任意的实数yx5arctan22arctan212yxyxF，5arctan212arctan21yx是相互独立的随机变量与所以YX四、小结二二维随机变量的分布函数一二维随机变量的定义三边缘（概率）分布