第三章-单自由度体系结构的地震反应

第三章单自由度体系结构的地震反应地震作用能引起结构内力变形等反应的各种因素3.1概述地震作用：能引起结构内力、变形等反应的各种因素。作用分类直接作用各种荷载如重力风载土压力等直接作用——各种荷载：如重力、风载、土压力等；间接作用——各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等震等。等效地震荷载：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用。3.1概述建筑结构的地震反应建筑结构的地震反应注：包括内力、变形、位移、速度、加速度建筑结构的动力计算简图考虑因素1.建筑结构包括各结构构件的特性2.地震时地面运动的特性，包括地面运动的强烈程度、频谱特性、持续时间等3.地震反应分析的目的3.1概述结构动力计算简图及体系自由度描述结构质量的两种方法1.连续化描述（分布质量）1.连续化描述（分布质量）ABAB单排架算简图32单层平面框架计算简图图3.1单层排架计算简图图3.2单层平面框架计算简图31概述3.1概述2.集中化描述（集中质量）←工程上常用采用集中质量方法确定结构计算简图（步骤）：定出结构质量集中将区域主要质量集中在质心定出结构质量集中位置（质心）将区域主要质量集中在质心；将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去集中化描述举例a水塔建筑b厂房（大型钢筋混凝土屋面板）3.1概述a、水塔建筑b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）hh主要质量：水箱部分主要质量：屋面部分厂房各跨质量集中到各跨屋盖次要质量：塔柱部分水箱全部质量部分塔柱质量厂房各跨质量:集中到各跨屋盖标高处水箱全部质量、部分塔柱质量→集中到水箱质心→单质点体系系集中化描述举例3.1概述c、多、高层建筑d、烟囱主要质量：楼盖部分→多质点体系结构无主要质量部分结构分成若干区域集中到各结构分成若干区域→集中到各区域质心→多质点体系3.1概述与结构静力计算简图的区别结构动力计算简图通常是在结构静力计算简图的基础上，将分布的质量集中在有限的几个点上，并忽略惯性效应相对很小的自由度，从而建立较为简单的结构动力计算简图。静力分析与动力分析的区别静力代数方程动力微分方程，惯性力、阻尼力32单自由度体系的自由振动3.2单自由度体系的自由振动3.2.1力学模型及其运动方程作用在质点上的三种力惯性力Ifmx作用在质点上的三种力：Fs(t)KPx(t)x(t)P弹性恢复力IfmxxkfxFd(t)c()P(t)mmP(t)(b)阻尼力外力xcfd)(tP(a)(b)图3.3单自由度体系的力学模型外力)(tP阻尼力——由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成；碍造成；弹性恢复力——由结构弹性变形产生。线性单自由度体系的运动方程0tPFFF平衡方程（31）0tPFFFSdI＝tPkxxcxm＝即平衡方程（3.1）（3.2）taxx2x2＝或ccc，＝mkcmωcmc22ξ,2称为阻尼比为弹簧系数为阻尼系数称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数叫做无阻尼的自振圆频率＝k叫做无阻尼的自振圆频率，＝mtP叫做激振加速度mtPta＝叫做激振加速度地面运动作用下单自由度体系的运动方程X(t)-mXg(t)DDSIXg(t)(a)(b)(c)图3.4图3.4质量块的绝对加速度相对加速度为力学模型()质量块的绝对加速度，相对加速度为惯性力1(()())fmxtxt()()gxtxt()xt惯性力:地面运动加速度1(()())gfmxtxtgx弹性恢复力阻尼力()xfkxt()ft阻尼力()dfcxt地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：0kxxctxtxmg＝））（）（（－（3.3）（34）txmtkxtxctxmg＝－txtxtx2(t)x2＝即或（3.4）txtxtx2(t)xg＝－或*地面运动的动力效应可用一个动力外荷载txmtPg＝－等效地表达地面运动的动力效应可用个动力外荷载g3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程为0kxxm＝或0xx2＝（3.5）或0xx＝k一般解为tCtBtxsincos＝m般解为tCtBtxsincos/0C0xBttxxsin/cost＝也可表示为（36）ttxxsin/cost00＝tAtxsin＝或（3.6）（）tAtxsin＝22/A0tx或（3.7）2020/xA＝00tg＝无阻尼自由振动是一个简谐振动，周期是2T2Tf2称为圆频率或角频率3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动在结构中存在一种耗能的因素——阻尼阻尼理论：粘滞阻尼和复阻尼理论阻尼理论：粘滞阻尼和复阻尼理论粘滞阻尼理论中，假定阻尼力与速度成正比，但方向与速度相反建立的单自由度体系的运动方方向与速度相反；建立的单自由度体系的运动方程为02)(2＝txtxtx（3.8）阻尼比＜l式（38）的通解为阻尼比＜l，式（3.8）的通解为tCsintBcosett－＝x21＝为有阻尼自由振动时的圆频率00xC0xBtsintcoset000txxx－＝（3.9）单自由度体系解写成如下的单项形式tsinAetxt－＝（3.10）2x0xt0020xxA＝000xtg＝周期为2T＝图单自由度体系自由振动曲线图3.5单自由度体系自由振动曲线从图3.5可见，无阻尼时自由振动的振幅始终不变，而有阻尼时自由振动的振幅随时间t的增加而减小，且而有阻尼时自由振动的振幅随时间t的增加而减小，且阻尼比越大，振幅的衰减越快。显然时体系不产生振动称为过阻尼状态显然，＞1时，体系不产生振动，称为过阻尼状态；1时，体系产生振动，称为欠阻尼状态；而=1时，介述种状态之间称为临状态时体系介于上述两种状态之间，称为临界阻尼状态，此时体系也不产生振动，有阻尼自由振动时的圆频率:21＝一般结构的阻尼比很小，范围为=0.01～0.1，由上式知，‘33单自由度体系在任意荷载作用下3.3单自由度体系在任意荷载作用下的受迫振动建筑结构所在场地的地面运动加速度往往是极不规则的，图36所示为实测得到的美国ElCentro地面txg不规则的，图3.6所示为实测得到的美国ElCentro地面运动加速度记录0040.080.12-0.0400.04-0.08051015202530(s)图36埃尔森特罗地震记录图3.6埃尔森特罗地震记录3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动如图37所示为瞬时如图3.7所示为一瞬时荷载，当荷载停留在结构上的时间很短时P(t)构上的时间很短时,称S＝Pdt为瞬时冲量。瞬时冲量下体系的初始(t)t()瞬时冲量下体系的初始速度v0=S/m，初始位移为零在任时刻时x(t)(a)为零。在任一时刻t时，其位移为t()tmPdtetx－ξωtsin＝（3.11）(b)图3.7瞬时冲量及其m引起的自由振动3.3.2一般动力荷载下的动力反应——般动力荷载下的动力反应杜哈美积分图38示任动力荷载它图3.8示任一动力荷载，它的整个加载过程可看作是由一系列瞬时冲量所组成。P()运用叠加原理，把各个瞬时冲量单独作用下的动力反应求出然后再叠加以(a)tdt反应求出，然后再叠加以求得总的动力反应。冲量在dPttt引起的单自由度体系的振动为tt-图38地震作用下的)12.3(sindττtωωmτPetdxτt－ξω＝图3.8地震作用下的质点位移分析体系在整个加荷过程中引起的总位移反应可由所有瞬时冲量引起的微分位移叠加得之有瞬时冲量引起的微分位移叠加得之dττtωτPe＝txtτtξωsin（313）dττtωωme＝txξsin0（3.13）上式称为Dh1（杜哈美）积分上式称为Duhame1（杜哈美）积分即为初始时刻处于静止状态的单自由度体系在任意动即为初始时刻处于静止状态的单自由度体系在任意动力荷载作用下的位移反应。tP3.4单自由度体系地震反应的数值计算3.4.1杜哈美积分的数值计算342运动方程数值计算解3.4.2运动方程数值计算解3.4.3计算机在数值计算中的应用3.4.1杜哈美积分的数值计算体系在地面运动加速度作用下的位移反应为体系在地面运动加速度作用下的位移反应为txg-1itξωtτd（314）对式（314）求导一次，两次，再进行积分计算，即0=-sinξωtτgxtxτeωtτdτω（3.14）对式（3.14）求导次，两次，再进行积分计算，即可求得单自由度体系的速度反应及加速度反应3.4.2运动方程数值计算解目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、Wilson－法等。数值方法的基本思路利用初始条件及各个分点间的递000txtxtx，，推关系，一步一步地向下进行递推计算3.5单自由度体系的水平地震作用与反应谱求解建筑结构在地震作用下构件内力的方法求解建筑结构在地震作用下构件内力的方法1.根据建筑结构在地震作用下的位移反应，利用刚度方程，直接求解内力，这时要求结构体系的动力学模型比较精确——直接求解2.根据地震作用下建筑结构的加速度反应，求出该结构体系的惯性力，将此惯性力视作为一种反映地结构体系的惯性力，将此惯性力视作为种反映地震影响的等效力，即地震作用，再进行结构的静力计算，求出各构件的内力——等效静力法计算，求出各构件的内力等效静力法注：《抗震规范》对于一般的建筑结构采用了上述第二种方法3.5.1水平地震作用的基本公式对于某一特定的地面运动，体系的加速度反应，质点的绝对加速度为txgt反应，质点的绝对加速度为txtxtxag＝质点的最大绝对加速度gmaxaSa＝地震时结构经受的最大地震作用maxaSF（）amSF＝（3.23）3.5.2地震反应谱定义定义将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期的关系定义为地震加速度反应谱，或简称地震反应谱，记为Sa(T)地震反应谱Sa(T)的意义与影响因素地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运震度应谱可为个确动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线如图所示与相应体系自振周期间的关系曲线，如图所示。地震反应谱的确定3.5.2地震反应谱影响地震反应谱的因素•体系阻尼比阻尼比体系地震加速度如图阻尼比，体系地震加速度，如图•地震动地震动阻尼比对地震反应谱的影响地震动对地震反应谱的影响3.5.2地震反应谱地震动对地震反应谱的影响•地震动记录不同，显然地震反应谱也将不同，即不同的地震动将有不同的地震反应谱，或地震反应谱总是与一定的地震动相应。•振幅、频谱、持时①振幅，地震加速度①振幅，地震加速度②频谱对地震反应谱的形状有影响，如图不同场地条件下的平均反应谱不同震中距条件下的平均反应谱（R—震中距，M—震级）地震反应谱直接用于结构的抗震设计有定的困难而需专地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱G—体系的重量；()xST—地震系数；—动力系数maxmax()G()g