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几何第02讲_鸟头模型知识图谱几何第02讲_鸟头模型-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．我们把这样的图形，称为鸟头模型．如图所示，△ADE的面积比△ABC的面积是：．三点剖析重难点：复杂图形如何构造鸟头模型，进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，进而解决它们．题模精讲题模一三角形中的鸟头例1.1.1、如图，，，那么三角形ADE占三角形ABC面积的________．答案：解析：根据鸟头模型，．例1.1.2、在三角形ABC中，已知，，，已知三角形ABC面积是24，那么三角形DEF的面积是_______．答案：7解析：根据鸟头模型，、、所占比例分别为、、．因此，．例1.1.3、如图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，，求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？答案：解析：连结BG．，故；，故，即．同理，，，故阴影部分的面积占△ABC面积的．题模二四边形中的鸟头例1.2.1、如图，长方形ABCD的面积是48，，．三角形CEF的面积是__________．答案：10解析：连接BD，CE是BC的，CF是CD的．根据鸟头模型，△CEF面积是△BCD面积的．那么△CEF的面积是．例1.2.2、如图，长方形ABCD的面积是1，是AD边的中点，N在AB边上，且．那么，阴影部分的面积为．答案：解析：连结．．例1.2.3、如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，，，则的面积与正方形ABCD的面积的比值是_____．答案：解析：三块空白的面积分别占总面积的、和，因此的面积与正方形ABCD的面积的比值是．例1.2.4、如图所示，长方形ABCD的面积是60，E是CD边上的中点，，那么三角形AEF的面积是__________．答案：27解析：连接BD，△CEF的面积占长方形ABCD面积的，△ABF的面积占长方形ABCD面积的，△ADE的面积占长方形ABCD面积的．所以△AEF的面积占长方形ABCD面积的，面积是．例1.2.5、如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等．△AEF的面积是长方形ABCD面积的几分之几？答案：解析：与△ABE等底等高的长方形面积占ABCD面积的，故，同理．因此，，△CEF面积占ABCD面积的，△AEF的面积是长方形ABCD面积的．例1.2.6、如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角直角三角形面积为7平方厘米．那么中间三角形（阴影部分）面积是__________平方厘米．答案：15.5解析：设，则，由两个直角三角形面积可得，所以．阴影面积．例1.2.7、如图，ABCDEF为正六边形．G，H，I，J，K，L分别为AB，BC，CD，DE，EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL．请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？答案：解析：设正六边形ABCDEF的面积为S，则；，，根据鸟头模型，，因此；小正六边形是大正六边形减去六个和一样的三角形得到的，面积为，小正六边形占大正六边形面积的．随堂练习随练1.1、如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________．答案：20解析：AD是AB的，AE是AC的．根据鸟头模型，有△ADE面积是△ABC面积的．那么△ABC的面积是20．随练1.2、在右图的三角形ABC中，，，甲乙两个图形面积的比是_________．答案：解析：根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是．随练1.3、如图所示，，，．已知△DEF的面积是12，那么△ABC的面积是多少？答案：36解析：根据鸟头模型，△AEF的面积是△ABC面积的，同理可得△BDF和△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△DEF的面积是△ABC面积的．所以△ABC的面积是．随练1.4、如图，已知长方形ADEF的面积是16，，．请问：三角形BCE的面积是__________．答案：3解析：连接DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的．那么△BCE的面积是．随练1.5、如图所示，在长方形ABCD中，，，如果阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是__________．答案：18解析：根据鸟头模型，可知△CEF面积是△BCD面积的．那么阴影部分的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是．随练1.6、如图，在长方形ABCD中，，长方形ABCD的面积是48，那么三角形AEF的面积是________．答案：12解析：根据一半模型和等高模型，△ABE的面积是长方形面积的，△ADF的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，所以△AEF的面积是长方形面积的，面积是．课后作业作业1、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那么△ADE的面积是__________．答案：12解析：根据鸟头模型，△ADE的面积是△ABC面积的，即△ADE的面积是．作业2、如图，在△ABC中，AB的长度是BD的4倍，AC的长度是EC的3倍．如果△ABC的面积为20平方厘米，那么△ADE的面积是多少平方厘米？答案：10解析：由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．作业3、如右图，在三角形中，为的中点，为上的一点，且，已知四边形的面积是35，则三角形的面积为_____．答案：42解析：易知，，故，．作业4、如图，已知，，，试求的值？答案：解析：根据鸟头模型，，同理，，因此．作业5、如图所示，D是AB边上靠近A点的三等分点，E是AC边上靠近A点的四等分点，F是BC边上靠近C点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24，那么三角形DEF的面积是__________．答案：5.6解析：由鸟头模型可得，，，，所以．作业6、如图，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边靠近C的三等分点，F是BC边靠近B的四等分点，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？答案：解析：根据鸟头模型，，同理，，所以三角形DEF的面积是：．作业7、如图，在平行四边形ABCD中，AF的长度是FD的2倍，CE的长度等于ED．如果平行四边形ABCD的面积为120平方厘米，那么△FDE的面积是多少平方厘米？答案：10解析：连接AC，由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．作业8、如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是__________平方厘米．答案：40平方厘米解析：考虑空白△AEB，△BFC，△EDF，分别求出它们的面积．首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长AD的；它的高为AB，与长方形的宽相等．所以△AEB的面积是长方形面积的，即平方厘米．同样可求得△BFC的面积是长方形面积的，即平方厘米．△EDF的面积是长方形面积的，即平方厘米．所以空白部分的总面积为，阴影部分的面积为作业9、如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是2，三角形ACF的面积是4．请问：三角形ABC的面积是多少？答案：7解析：；，；，；因此，；．