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点击进入相应模块直线与平面垂直的判定1.了解线面垂直的判定定理的直观感知，归纳推导过程.2.理解线面垂直的定义以及判定定理.3.能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直.1.本节课的重点是掌握线面垂直的定义以及判定定理、线面角的概念，并能正确运用.2.本节课的难点是判定定理和线面角的理解以及应用.1.直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的__________直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直.记作______.(2)相关概念：直线l叫做平面α的______.平面α叫做直线l的______.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做_____.任意一条l⊥α垂线垂面垂足(3)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.2.直线与平面垂直的判定定理(1)语言表述条件：直线垂直于平面内的两条__________.结论:直线与此平面______.(2)符号表述：l⊥al⊥b_____________________相交直线垂直⇒l⊥α.a⊂α,b⊂αa∩b=P1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，能否一定得出直线l与平面α垂直？1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，能否一定得出直线l与平面α垂直？提示：不一定.如果这无数条直线是一组平行线，就得不出垂直.2.若直线m∥直线n,且直线m⊥平面α,能否推出直线n⊥平面α?.2.若直线m∥直线n,且直线m⊥平面α,能否推出直线n⊥平面α?提示:能.任取直线a⊂α,b⊂α,a∩b=P，又直线m⊥平面α,所以m⊥a,m⊥b，又直线m∥直线n,所以n⊥a,n⊥b,于是得直线n⊥平面α.3.如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是______.3.如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是______.【解析】由线面垂直的定义可知，直线l垂直于平面α.答案：垂直1.关于直线与平面垂直的定义的理解(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法.(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.线面垂直的判定定理的理解【技法点拨】正确把握线面垂直的判定定理(1)记法及意义：“线线垂直，则线面垂直”中“线线”指一条直线和平面内的两相交直线；“线面”指这条直线和两相交直线所在的平面.(2)成立的条件：直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线与两相交直线有无公共点均可.【典例训练】1.下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α.②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α.③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α.④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.(A)4(B)2(C)3(D)12.如图所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.则直线SD与平面ABC的位置关系为______.【解析】1.选B.对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的.2.∵SA=SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD,在Rt△ABC中，则AD=DC=BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.答案：垂直.线面垂直的判定【技法点拨】1.利用线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直.(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.(3)根据判定定理得出结论.2.解决线面垂直的常用方法(1)利用勾股定理的逆定理.(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线.(3)利用线面垂直的定义.(4)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c.【典例训练】1.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()(A)平行(B)垂直相交(C)垂直但不相交(D)相交但不垂直2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1【解析】1.选C.连接AC,因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.2.∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1=A1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,AD⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD=,A1D=,AA1=2.∴AD2+A1D2=AA12,∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D=A1,∴AD⊥平面A1DC1.22【思考】(1)判定线面垂直的依据主要有哪些？(2)利用线面垂直的判定定理时易出现哪方面的失误？提示：(1)直线与平面垂直的定义以及判定定理都是判断直线与平面垂直的依据，但前者要说明直线与平面内所有直线的情况，后者只需说明直线与平面内的两条相交直线的情况就可以了.(2)在证明出所要证的直线与平面内的两条直线垂直后，易忽略说明这两条直线是相交直线.【规范解答】证明线面垂直【典例】(12分)如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA,PB,PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心.求证：PH⊥平面ABC.【解题指导】【规范解答】如图所示，∵PC⊥AP，PC⊥BP，AP∩BP=P①，AP⊂平面APB，BP⊂平面APB②，∴PC⊥平面APB.……………………………………………3分∵AB⊂平面APB③，∴PC⊥AB.……………………………………………………5分连接CH，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，…………………………………………………7分∵PC∩CH=C①，PC⊂平面PHC,CH⊂平面PHC②，∴AB⊥平面PHC，PH⊂平面PHC③，∴AB⊥PH.…………………………………………………9分同理可证PH⊥BC.…………………………………………10分∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC②且AB∩BC=B①，∴PH⊥平面ABC.……………………………………………12分【规范训练】(12分)如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.【解题设问】(1)由PA⊥圆O所在平面会得到线线垂直，根据是什么？________________.(2)欲证AE⊥平面PBC.可利用_____________________.线面垂直的定义线面垂直的判定定理【规范答题】∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.……………………………………………………3分∵AC⊥BC,AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC.AE⊂平面PAC，………………………………………………6分∴BC⊥AE.……………………………………………………8分又∵PC⊥AE，BC∩PC=C，…………………………………10分PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.……………………………………………12分1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()(A)平行(B)垂直(C)相交不垂直(D)不确定2.直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与平面α的位置关系是()(A)a∥α(B)a⊥α(C)a⊂α(D)a⊂α或a∥α3.已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四种说法：①m⊥n,m⊥α⇒n⊥α；②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n；③m∥n,m∥α⇒n∥α；④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确的序号是()(A)①③(B)②(C)④(D)②③1.【解析】选B.一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直于第三边.2.【解析】选D.a与b垂直，b⊥平面α，则a⊂α或a∥α.3.【解析】选C.①中n⊂α或n∥α,不正确；②中，两直线可以平行，也可以异面，故不正确；③中，n∥α或n⊂α，故不正确,所以选C.5.如图,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB.过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA，OB，OC.求证：AC⊥平面PBO.【证明】∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC，PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO.又∵OA⊂平面PAO，∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.又∵PO∩OB=O,PO,OB均在平面PBO内，∴AC⊥平面PBO.