空间向量 距离的计算

空间距离的计算学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离；2．能用向量方法解决点面、线面、面面的距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用；3.探究题型，总结解法步骤。复习回顾：1.我们所学距离有哪几种？2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2)试求平面ABC的一个法向量.如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=|||||cos,|||PAnPAnn=||||PAnn.nAPO一、求点到平面的距离这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点（常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值例1、已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，GC=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyzDABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyz:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.nEFnEG，|BE|211.11ndn2202420xyxyz(1,1,3),n取B(2,0,0)E点B到平面EFG的距离为21111.例1•求点到平面的距离的步骤：•⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；•⑵求平面的一个法向量的坐标；•⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；•⑷代入公式求出距离.如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,、MN分别是、ADPB的中点,求点A到平面MNC的距离.APDCBMN练习1:DMPNAxCBzy解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(2a,0,0),B(2a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,a)∵、MN分别是、ADPB的中点,∴2(,0,0)2Ma211(,,)222Naaa∴2(,,0)2MCaa,11(0,,)22MNaa,2(,0,0)2MAa设(,,)nxyz为平面MNC的一个法向量,∴,nMNnMC∴202nMCaxay且022aanMNyz解得22xyz,∴可取(2,1,1)n∴2MAnadn即点A到平面MNC的距离为2a.例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz二、求直线与平面的距离|BE|211.11ndn正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求AC与平面DA1C1的距离DAndn练习2:A1B1C1D1ABCD例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求平面A1DC1与平面AB1C的距离A1B1C1D1ABCD三、求平面与平面间距离DAndn练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnABd小结：怎样利用向量求距离？点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面法向量上投影的绝对值。直线到平面的距离：转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。作业：P50A组2，3