空间向量

空间向量一、平面向量复习1.向量：既有大小又有方向的量。2.向量的模：向量的大小a3.几个特殊的向量：0aaaa与同向的单位向量：3)相等的向量：大小相等，方向相同的向量。4)负向量：大小相等，方向相反的向量。5)平行向量：方向相同或相反的向量。（共线向量）1)零向量（）：模为0的向量，方向是任意的。（注意与0的区别）02)单位向量：模为1的向量，方向未确定。4.向量的几种形式1)几何形式：有向线段ABAB2)代数形式：,axiyjaxy分量形式：坐标形式:11222121,,,AxyBxyABxxyy终点—起点22,axyaxy5.向量的运算运算几何形式坐标形式加法减法实数与向量的乘法1122(,),(,)axybxy1212(,)abxxyy1212(,)abxxyy00,00aaaaaaa与同向，，与反向，，11(,)axy1abba注：1122222,0xyabxyxyab，两个非零向量1.△法则（首尾相接）2.◇法则（共起点）△法则（共起点，方向指向被减向量）运算几何形式坐标形式数量积1122(,),(,)axybxycosabab1212abxxyy指两向量的夹角（共起点）注：1.夹角公式：121222221122cosxxyyababxyxy222.aaaa12123.00ababxxyy6.平面向量的分解定理22111eteta如果，是平面内两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数t1，t2使1e2eaOCMN1e2ea对向量a进行分解：ONOMOC2211etet平面向量知识结构图二、思考：1、空间向量与平面向量有何区别？空间向量研究些什么内容？怎样研究？2、空间向量能用来干什么？怎么用？三、空间向量我们把向量推广到空间,并把它们叫做空间向量.空间向量与平面上的向量有相应的概念,运算及其运算律具有相同的意义.是平面向量的推广,有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成“三维的”了.ⅡⅦzx面ⅤⅥⅠxy面yz面ⅢⅣⅧzxy•O空间直角坐标系共有八个卦限2、空间直角坐标系的划分•P1P2P3yxz••11P•xyzo1•3、空间中点的坐标对于空间任意一点P，要求它的坐标方法一：过P点分别做三个平面垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值叫做P点的x坐标,y坐标,z坐标。P点坐标为(x,y,z)•xyzo111•P•P0xyz方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z轴上的坐标z就是P点的z坐标。P点坐标为(x,y,z)P1空间向量基础知识空间向量的坐标表示：空间向量的运算法则：若111(,,)Axyz222(,,)Bxyz212121(,,)ABxxyyzz奎屯王新敞新疆),,(),,,(222111zyxbzyxa212121111212121),,(),,(zzyyxxbazyxazzyyxxba向量的共线和共面共线:共面对应坐标成比例baba//)1(OBtOAtOPBAP)1()2(三点共线、、pbabyaxppba表示可以用共面,,,)1(OCyOBxOAyxOMABCM)1()2(四点共面两点间的距离公式模长公式夹角公式方向向量：法向量221221221)()()(zzyyxxdAB2121212||zyxaa222222212121212121||||coszyxzyxzzyyxxbababa的方向向量是直线称若lala//0;212121zzyyxxanananan的法向量是则称若求解线线平行线面平行空间向量运算空间向量的加减空间向量的数乘空间向量的夹角空间向量内积空间向量的模长平面的法向量空间直角坐标系空间坐标系概念建立坐标系坐标运算角异面直线夹角线面夹角二面角距离异面直线距离点面距离面面距离空间向量求解证明面面平行线线垂直线面垂直面面垂直线线平行线面平行空间向量知识结构图四、建立空间直角坐标系，解立体几何题1122330abababba112233,,()abababRba||112222///ababab（一）、常用公式：1、求线段的长度：222zyxABAB212212212zzyyxx2、平行3、垂直5、求直线l与平面所成的角：|||||||sin|nPMnPM，(lPMMn为的法向量)4、求两异面直线AB与CD的夹角：||||||cosCDABCDAB（二）、求角公式：6、求二面角的平面角:(为二面角的两个面的法向量）1212cos||||nnnn1n2n8、求异面直线a,b的距离:d9、求法向量：①找；②求：设ba,为平面内的任意两个向量，),,(zyxn为的法向量00nbna则由方程组可求得法向量n7、求P点到平面的距离d：||||PQndn，（Q为平面内任意一点n为平面的法向量）（三）、求距离公式：||||PQndn，（P为a上任意一点，Q为b上任意一点,n为与a,b公垂线的方向向量）例1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1，CD的中点，设1ABaADbAAc，，111,,,abcACBDAFEF用表示，，1ACabc1BDabc112AFabc1122EFabcAA1FEDCBB1C1D1例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G是△ACD1的重心，求证：D,G,B1三点在同一直线上。ABCDA1B1C1D1GO例3：已知向量，向量与的夹角都为，且，计算：abc,ab0601,2,3abc(1)323(2)2(3)2abbcabcabcb与的夹角72115arccos1122例4.在正四面体ABCD中,用向量的方法证明：AB⊥CDABCD请把《空间向量》知识结构图画在习惯培养本上！