空间向量基本定理(上课用)

3.1.2空间向量基本定理回顾复习一、共线向量：1.共线向量:如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2、共线向量定理对任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,.使b=λa用于证明两条直线平行）三点共线作用：（)2(1中点公式：若P为AB中点,则12OPOAOBOABP3.A、B、P三点共线的充要条件A、B、P三点共线APtABA(1)OPxOyOBxy平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使12ee，a12，1122aeeabBPCA思考1：空间任意向量与两个不共线的向量共面时，它们之间存在怎样的关系呢？pab，ab二、共面向量αOA(2)共面向量:平行于同一平面的向量叫做共面向量思考:空间任意两个向量是否一定共面?空间任意三个向量呢?ABCD(1).已知平面α与向量,如果向量所在的直线OA平行于平面α或向量在平面α内,那么我们就说向量平行于平面α,记作//α.aaaaa一定不一定AabBCPp3.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，如果三个向量不共面，则称这三个向量线性无关ABNCMA1B1C1abc111.,a,b,c,k,k,:ac.ABACAAAMACBNBCMN例如图三棱柱设求证与向量和共面11:.MNAABB追问:求证平面说明：若证明一条直线a与一个平面α平行：1、说明这条直线在平面外2、直线上的一个向量可以分解为这个平面内不平行的两个向量的分解式ckakMN)1(?共面向量定理的作用练习、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.AEANBDBM31,31.求证：MN//平面CDE证明：ANBAMBMNDECD3132=CDDE又与不共线根据共面向量定理，由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.DECDMN,,可知共面。ABCDEFNM13DBBAAN11()()33DCCBCDADDEabBCpPAO思考2：有平面ABC，若P点在此面内，须满足什么条件？APxAByACOPOAxAByAC结论:空间四点P、A、B、C共面1.存在唯一有序实数对x,y使可证明或判断四点共面2.对空间任一点O,有(1)OPxOAyOBzOCxyz其中，3.能转化为都以O为起点的向量吗？1)OPxyOAxOByOC（2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为：OMxOAOBOC11＋＋331.1.0.3.3ABCDD3.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；1.已知12,ee是平面内两个不共线的向量,求证:A,B,C,D四点共面.121212ee,2e8e,3e3e,ABACAD若ABACAB5151平面向量基本定理有向量的一组基底)叫做表示这一平面内所e、e（。e＋λe＝λa，使，λ一对实数λ，有且只有a任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不e，e如果2122112121这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量来线性表示.在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢?即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基本定理呢?问题情境猜想:。czbyaxp使实数组x，y，z，，存在一个唯一的有序p向量不共面，那么空间任一c、b、a如果三个向量三、空间向量基本定理（又称空间向量分解定理）:cabpAODCBE如果三个向量abc、、不共面,那么对于空间任一向量p,存在唯一的有序实数组,,xyz使pxaybzc.对向量p进行分解,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.如：,,abcxaybzc合的线性表示式或线性组叫做向量cba,,,,abc其中叫做基向量如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得．OAP’A’CBB’P证明:（1）先证存在性，，，，作过空间一点是三个不共面的向量，，，设pOPcOCbOBaOAOcba过点P作直线PP’∥OC，交平面OAB于点P’；在平面OAB内，过点P’作直线P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别交直线OA，OB于点A’，B’.空间向量基本定理:（又称空间向量分解定理）czbyaxp,,abcp存在实数则(x,y,z),使,OAxOAxa,OByOByb,OCzOCzcpxaybzc(2)再证惟一性用反证法2.假设存在实数组,使222,pxaybzc=++xaybzc++所以2xx¹222()()()0xxayybzzc-+-+-=即因222xaybzc=++2222yyzzabcxxxx--=----,,abc从而共面,这与,,abc不共面矛盾,所以有序实数组(x,y,z)惟一.222(,,)xyz2xx¹说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．数学运用？构成空间的另一个基底以与向量中选哪个向量，一定可是空间的一个基底，从、已知向量例baqbapcbacba,,,,,1有什么关系？那么点构成空间的一个基底不为空间四点，且向量、判断：CBAOOCOBOACBAO,,,,,,,,,21,abab、如果与任何向量都不能构成空间的一个基底，则与有什么关系？练习共线共面例2：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底表示向量OCOBOA,,OGCBOAMNG解：在△OMG中，OGOMMG12()23OAONOM111633OAOBOC1223OAMN例3.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且，，，用表示如下向量:(1)；(2)（点G是侧面BB’C’C的中心）OAaOCbOOc,,abc,,OBBACAOGC/BACOA/B/O/Gabc'OBabc'BAcb'CAabc1122OGabc2：)基底的向量组有(其中可以作为空间的:给出下列向量组一个基底,是空间的且设,cba,y,xz,c,bz,y,xx,b,ac,b,aacz,cby,bax④,③,②,①,(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个CGEFC'B'A'D'DABC3奎屯王新敞新疆如图，在平行六面体ABCDABCD中，,,EFG分别是,,ADDDDC的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）//EGAC（2）平面//EFGABC平面奎屯王新敞新疆小结:3.空间向量基本定理及推论.(1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；(2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量法解立体几何问题的一项基本功。1.共线向量定理.2.共面向量定理.4.共线向量定理是在一维空间中利用向量平移得到的，而平面向量基本定理是在二维空间中借助与向量加法的平行四边形法则推导的，空间向量基本定理是在三维空间中研究的。