空间向量数量积及坐标运算

3．1.3两个向量的数量积1、空间向量的夹角(1)定义及记法已知两个a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则叫做向量a与b的夹角，记作．(2)范围和性质①范围：≤〈a，b〉≤．②性质：〈a，b〉〈b，a〉．如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作．非零向量∠AOB〈a，b〉0π＝90°a⊥bOAOB（3）．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.2．异面直线的定义的两条直线叫做异面直线．3．两条异面直线所成的角把异面直线，这时两条直线的夹角()叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是直角，则称两条异面直线.不同在任何一平面内平移到一个平面内锐角或直角互相垂直4．异面直线夹角的范围是(0，]．21．空间两个向量的数量积已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)．2．两个空间向量的数量积的性质(1)a·e＝．(2)a⊥b⇔．(3)|a|2＝．(4)|a·b|≤．正射影数量？a·b＝|a||b|cos〈a，b〉|a|cos〈a，e〉a·b＝0a·a|a||b|3．两个向量的数量积是实数，它可正、可负、可为零．4．两个空间向量的数量积的运算律(1)(λa)·b＝．(2)a·b＝．(3)(a＋b)·c＝．λ(a·b)b·aa·c＋b·c3．1.4空间向量的直角坐标运算1．单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做．单位向量i，j，k都叫做．{i，j，k}单位正交基底坐标向量2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)．b＝(b1，b2，b3)．向量坐标运算法则a＋b＝a－b＝λa＝a·b＝．(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3AB＝OB－OA＝，(x2－x1，y2－y1，z2－z1)终点的坐标减去起点的坐标3．空间向量平行和垂直的条件(1)a∥b(b≠0)，或当b与三条坐标轴都不平行时a∥b．(2)a⊥b．a＝λba1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3a1b1＝a2b2＝a3b3a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝04．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，|b|＝＝，cos〈a，b〉＝＝．(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝．（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23a·b|a||b|b21＋b22＋b23b·ba·aa21＋a22＋a23[例1]已知空间四点A、B、C、D的坐标分别是(－1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若p＝AB，q＝CD.求(1)p＋2q；(2)(p－q)·(p＋q)；(3)cos〈p，q〉．（4）求AB在CD上的正射影的数量练习：设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[例2]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．[思路点拨]先求1BA·AC，再由夹角公式求cos〈1BA，AC〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的余弦值．[精解详析]∵1BA＝BA＋1AA＝BA＋1BB，AC＝BC－BA，且BA·BC＝1BB·BA＝1BB·BC＝0，∴1BA·AC＝－2BA＝－1.又|AC|＝2，|1BA|＝1＋2＝3.∴cos〈1BA，AC〉＝11·||||BAACBAAC＝－16＝－66.∵异面直线所成角的范围是(0，π2]，∴异面直线BA1与AC所成角的余弦值为66.[例3]如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求1BA与1BC夹角的余弦值．[思路点拨]先建立空间直角坐标系，写出各向量的坐标，再利用向量方法进行求解．[精解详析]如图，以CA，CB，1CC为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3，∴线段BN的长为3.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴1BA＝(1，－1，2)，1CB＝(0，1，2)，∴1BA·1CB＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA|＝6，|1CB|＝5，∴cos〈1BA，1CB〉＝1111·||||BACBBACB＝3010，即1BA与1BC夹角的余弦值为3010.练习：．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H是C1G的中点．(1)求EF与1BC的夹角；(2)求EF与1CG的夹角的余弦值；(3)求F，H两点间的距离．解：如图所示，以DA，DC，1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E(0，0，12)，F(12，12，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，34，0)．(1)EF＝(12，12，－12)，1BC＝(－1，0，－1)，∴EF·1BC＝(12，12，－12)·(－1，0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋(－12)×(－1)＝0.∴EF⊥1BC，即EF⊥B1C.∴EF与1BC的夹角为90°.(2)1CG＝(0，－14，－1)，则|1CG|＝174.又|EF|＝32，且EF·1CG＝38，∴cos〈EF，1CG〉＝11·||||EFCGEFCG＝5117，即EF与1CG的夹角的余弦值为5117.(3)∵H是C1G的中点，∴H(0，78，12)．又F(12，12，0)，∴FH＝|FH|＝（0－12）2＋（78－12）2＋（12－0）2＝418.4．已知空间四边形OABC各边及对角线长相等，E、F分别为AB、OC的中点，求OE与BF所成角的余弦值．解：如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.因为OE＝12(a＋b)，BF＝12c－b，|OE|＝|BF|＝32，∴OE·BF＝12(a＋b)·(12c－b)＝14a·c＋14b·c－12a·b－12|b|2＝－12.∴cos〈OE，BF〉＝·.||||OEBFOEBF＝－23.∵异面直线所成的角为直角或锐角，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为23.3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设〈AB，CD〉＝θ，∵AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝|CD|2＝1，∴cosθ＝·||||ABCDABCD＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C