空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示1、共线向量定理2、共面向量定理pxayb=+对于两个不共线向量,则向量与向量共面的充要条件是存在实数组(x,y),使得,abp,ab对于任意两个向量，则向量与共线的充要条件是存在实数,使得a(0)aba¹，blbal=3、平面向量基本定理这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量线性表示.如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2，使得12,eea1122aeell=+我们把不共线的两个向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.12,ee(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.123123{,,},,eeeeee基底—---基向量，使的有序实数组，那么对空间任一向量不共面，如果三个向量),,(,,321zyxpeee存在唯一321ezeyexp强调：对于基底123{,,}eee1231,,eee（)不共面123,,30eee（）中能否有?4、空间向量基本定理:如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底，通常用表示{},,ijkOABCP,(xyz)OPxOAyOBzOC推论：设、、、是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的有序实数组，，，使得＝＋＋当x+y+z=1时，必有P、A、B、C四点共面.4、空间向量基本定理:5、平面向量的坐标表示：p给定一个平面直角坐标系和向量，ij、且设分别为x,y轴正方向上的单位向量，由平面向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,)xy则有序实数组叫做在平面直角坐标系O-xyz中的坐标，p(,)xy上式可简记作(,)pxypxiyj使得(1)平面向量的坐标等于向量的终点坐标减去它的起点坐标.(2)以原点为起点的向量的坐标等于它终点的坐标.6、平面向量的坐标表示及运算律：1212(,),(,)aaabbb(1)若1122(,),(,)AxyBxy(2)若ab则1122(,),ababab1122(,),ababa12(,)(),aaRAB则2121(,)xxyy则有序实数组叫做在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，p(,,)xyz1、空间向量的坐标表示：xyzOA(x,y,z)p1e2e3e上式可简记作(,,)pxyzp给定一个空间直角坐标系和向量，ijk、、且设分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)xyzpxiyjzk使得ab2、空间向量的直角坐标运算律：123123(,,),(,,)aaabbbb(1)设aaba则:112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)aaa111222(,,),(,,)AabcBabc(2)若则AB212121(,,)aabbcc空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.(2,3,5),(3,1,4)ab例1、已知abab8a解:,,8ababa求(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)8(2,3,5)(16,24,40)P781,2,3,4例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.AA1B1C1D1DCBzyx(1)AB1(2)AB(3)AC1(4)AC1(5)CD1(6)CA(2,0,0)(2,0,2)(2,2,0)(2,2,2)(2,0,2)(2,2,2)1(3,2,5),(1,5,1)ab、已知;ab求(1);ab(2)3;a(3)6答案：（-2，7，4）（-10，1，16）（-18，12，30）2.已知,则(3,5,7),(1,2,9)ABAC__________BC3.已知,若则y=_____,z=______.(4,2,6),(2,,)mnyzmn已知空间两向量111222(,,),(,,),(0)axyzbxyza则ab121212,,()xxyyzzR即对应坐标成比例.4.判断下列各组中的两个向量是否共线.9(1)(2,3,4,),(3,,6)2ab(2)(2,0,4,),(4,1,8)ab(3)(2,0,4,),(4,0,8)ab5.已知,若则a=_____,b=______.(8,3,),(2,6,5)manbmn例题3:(1)已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标.(2)已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3),D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面.变:已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,9),试证明:四边形ABCD是梯形.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别在AC,C1D上,且,求证:MN//BD112CNAMMCNDNMxDAA1B1C1D1CBzy（1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律；确定空间几何体中顶点和向量的坐标；（2）、空间向量中的公式的形式与平面向量中相关内容一致，因此可类比记忆；1、重点：2、难点：P８３9,10,11例2：如图，是棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'，求'.ABDC解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则(1,0,0),A所以AB'DC'ABDC(1,1,0),B(0,0,0),D'(0,1,1)C(1,1,0)(1,0,0)(0,1,0)(0,1,1)(0,0,0)(0,1,1)0011011yxz(1,0,0)(1,1,0)(0,1,1)oCA'D'C'DABB'(1,1,1)(0,0,0)xz若E1，F1分别是A'B'和C'D'的一个四等分点，那么又是多少呢？11DFBE(1,1,0)1(0,,1)4yF1oADBB'C'CA'D'E13(1,,1)4(0,0,0)答案：15167.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BA1,AC上的点,且BM=CN,xDAA1B1C1D1CBzyMN(1)MN与面AA1D1D平行吗?(2)M在何处时,MN最短?1、空间向量基本定理：cpab'''''OPOPPPOAOBPPxOAyOBzOCpxaybzc如果三个向量不共面，存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzcabc、、那么对空间任一p向量，oABCPP’A'B'abcp