第四章-声子--晶格振动

第四章声子I：晶格振动PhononsI：Crystalvibrations引言2前面两章中所说的格点，实际上是指原子的平衡位置。原子无时无刻不在其平衡位置作微小振动——晶格振动晶格振动——晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系晶格振动的研究——固体宏观性质和微观过程的重要基础由于原子间存在相互作用，它们的振动又相互关联，在晶体中形成了格波。3§4.1一维单原子晶体的晶格振动4尽管晶体中原子的平衡位置具有周期性，但由于原子数目极大，原子与原子间存在相互作用，任一原子的位移至少与相邻原子，次近邻原子的位移有关。严格求解晶格振动是一个极其困难的事。格波的研究——先计算原子之间的相互作用力——根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程5这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。F=-cx从能量的角度来看，认为原子间有了相对位移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能展开成级数：022222021xxxxucxxuxxuuuOO）（）（）（1.简谐近似62.一维单原子晶格的运动方程和色散关系一维单原子晶格在每个阵点上只有一个原子，第s个原子相对于它平衡时的位移是Us,第ｓ个原子所受到的来自第s+p个原子的作用力与它的相对位移成正比pssuu）（psspuucF7第s个原子所受到的力等于所有原子作用力的总和）（pssppsuucF).......3.2.1Nsuucumspspps（）（当s取不同值时，上述方程为一方程组,代表各个原子的位移和运动。运动方程：8原子在平衡位置附近的小振动可看作是耦合的简谐振子的运动。这种耦合谐振子可以通过正则变换化成一组独立的无相互耦合的简谐振动的线性叠加。经过这样变换的每一个独立的谐振子代表简正模式。点阵振动的简正模式是指有一定频率、一定波矢的平面波，第s个原子的位移按简正模式解可写成：）（skatiseuu)0(这也就是频率为ω,波矢为k的平面波对第s个原子位移的贡献。这个平面波称之为格波，把寻求到的运动方程的解带入运动方程就能找出ω与k的关系即所谓色散关系。9将带入运动方程得：（其中u=u）iskaskatisueeuu)()0(tie）（0ueeCueMiskakapsippiska][2）（）（12ipkappecM约去两边相同的因子得：ipkae代表第s与s+p个原子的位移的位相差。10由于点阵有平移对称性（+p原子与-p原子的力常数相等）：Cp=C-p则=-利用欧拉合成化简可得：这就是一维单原子晶体考虑了所有原子的作用后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。]11[002）（）（ipkappipkappeCeCM）（20ipkaipkappeeC）（pkacMppcos120211通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近似）：则色散关系变为：或101PPCcP）（＝２kaMccos12kaMc21sin4＝12此函数关系在第一布里渊区的图如下：0minmc2max13——k空间的周期频率极小值:频率极大值只有频率在极大和极小之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减。)2sin(2aqmc——一维单原子晶格看作成低通滤波器色散关系2amcak)2sin(2akmcvk14格波——长波极限情况),0(ak0k当)2sin(2akmc——一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系一致2)2sin(kaka格波的波速为常数弹性波波弹性波15由于长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格就像一个连续介质。在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，它是与波矢无关的常数，因此单原子链中传播的长波格波称为声学格波。极限情况：波长趋于无穷大，此时波不存在，晶体做整体运动。0)1(kaknaank——一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质长波极限下k→0，相邻两个原子之间的位相差mc2)2sin(2akmc16格波——短波极限情况)(ak短波极限下ak22——相邻两个原子振动的位相相反弹性波弹性波17长波极限下0)1(kaknaank短波极限下ak22相邻两个原子振动位相差18所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是ka。该结果还表示：只要ω和k满足上述关系，试解就是联立运动方程的解。kaMc21sin4＝色散关系的物理意义：19该解表明：晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。格波原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。）（skatiseuu)0(2k）（连续介质弹性波：xatiAe从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中的x是可以连续取值的；而在格波中只能取sa格点位置这样的孤立值。203.周期性边界条件我们前面研究的对象是理想晶体,边界上与内部的原子是一样的,既理想晶体不考虑晶体边界,没有边界效应。长为L的一维原子链,要作为理想晶体来对待,就要用到周期性边界条件(即循环边界条件或玻恩－卡曼边界条件)。21所谓周期性边界条件是把实际晶体看作是无限的,要求运动方程的解以晶体的长度L=Na为周期,既要求:这个边界条件的意思是相当于将晶体的首位相接构成一个圆环,第0个原子与第N个原子重合。（由于N很大，所以每个原子的运动仍然可以看成是直线的）22因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系列分立值。k=0，k=110NNNssuuuuuu，即为整数）（，nnLkLL242）（）（tskaiseuu0iNkatskaiNseeuu）（）（01222ninaLiNiNkaeeenL，则23对玻恩－卡门周期性边界条件（虚设边界条件）的理解在实际的原子链两端接上了全同的原子链后，由于原子间的相互作用主要取决于近邻，所以除两端极少数原子的受力与实际情况不符外，其他绝大多数的原子的运动并不受假想原子链的影响。（从这个意义上讲，选取什么样的边界条件并不是很重要）玻恩－卡门周期性边界条件是固体物理学中极其重要的条件，因为许多重要理论结果的前提条件是晶格的周期性边界条件。24混淆量一定不要与倒易点阵矢naGnL22由此可从k求出ω，由于k值是无限的，相应的应有无穷多简正模式，但实际上在这些简正模式中只有一部分是独立的。即k取边界条件允许的值时，有些格波将对应相同的频率和位移，因此它们是同一个简正模式。252.1.0.2|21sin|4nnLkkaMc简正模式的色散关系有一个重要的性质：一维时则当把k换成-k时对应的频率完全一样，不仅频率相等，而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，也就是说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个格波。26）（）（KGk为整数）（nnaG2）（）（nakk24．第一布里渊区)2sin(2akmc如上图.相邻两个原子之间的相位差为：？？？？∴以上两个格波是同一列格波,是同一个简正模式27aka525akkaka251265，，aka28ak——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同21ak222ak波矢的取值相邻原子的位相差——第一布里渊区——只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一个倒易点阵矢量的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外的k总可以平移一个后用第一布里渊区中的k来等价描述，第一布里渊区以外k只不过是第一布里渊区中的ｋ的重复和再现而已。29GG在第一布里渊区中有多少k值呢？第一布里渊区中的k值数目实际上就是晶体中初基晶胞的数目，长为L的一维原子链中的独立的简正模式数等于晶体中的原子数。30NaNaaLLa22每一个简正模式代表一个一定频率与波矢的平面波，那么运动方程就有N个独立的简正模式解，但这些解都不代表原子的真实位移。在点阵振动中，我们不研究原子的真实位移，因为这是毫无实际意义的。31若晶体中有一个扰动，有一个原子偏离了平衡位置。由于原子间有相互作用，则这个扰动可以看作是基本格波组成的波包的运动，波包的运动速度是格波的群速，。它是有一系列格波叠加起来的波包的运动，波包中心所对应的速度为群速度，它是介质中能量传输的速度。32dkdvg5.群速33恒定相位点的移动速度Dispersion:vkWhatisthewavevelocity?相速（phasevelocity）vp群速（groupvelocity）vg{phasevelocitykωvpgroupvelocity(k)ωkdωdvkg能量传播速度avkkCakM/aCakaMC2kaM4Cω连续弹性波极限长波极限Forasmallk(ka1)相当于λa342/ka)2/kasin(MCak)2/kasin(4C/Mkωv2p)2kacos(MCakd)2/kasin(d4C/Mkdωdv2gka/2)2/kasin(vvsp)2ka/cos(vvsgphasevelocitygroupvelocity35在布里渊区边界上时，0.gvakDirectlatticeReciprocallatticeBZboundaryxˆnarBraggconditionxˆaπG21xˆa2πmG它表明当格波的波长比点阵常数大的多时,可以把格波当作连续介质中的弹性波处理。也就是说可以把晶体看作连续介质，当λ》a时，点阵的分立性就显示不出来，传播时感觉不到分立性，若波长缩短，分立结构的特性对格波的影响就逐渐显露出来，色散关系的线性关系就要改变，当λ=2a时，k=，正处在布里渊区边界，发生了Bragg反射。36a长波极限：＝vk37§4.2一维双原子晶体的晶格振动考虑一个初级晶胞有两个原子的情况1.运动方程和色散关系一个初基晶胞中两个原子的质量不同，但为了处理问题方便起见，认为原子间的力常数是一样的，在简谐近似下，用最近邻近似，认为各原子之间是用同样的弹簧联系起来的。3839）（）（1ssssvucvuc][122）（）（＝Ｍ１ssssvuvucdtud）＝Ｃsssuvu21]1222）（）＝ｃＭssssuvuvdtvd）＝ｃsssvuu21其运动方程为同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：若只考虑最近邻近似，第ｓ个晶胞中质量为M1的原子所受的力为：40)(,skatisskatisvevueu）（cvecuvMcuecvuMikaika21212212）（）（我们将之代回运动方程得：这是2N个方程耦合在一起的联立方程组，该方程组有行波解：这是以u，v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。410vωM2Cu1C0v1CuωM2C22ikaika21ee变形得：展开此行列式可得：即上式中取“＋”号时，有较高频率称为光学支色散关系，取“－”号时，有较低频率称为声学支色散关系。420cos1222221421）（）（kacMMcMM]cos2[21222121212kaMMMMMMMMc