32高二数学线面角练习及解答

FHOPEDCBA1.（2009浙江卷理）在三棱柱111ABCABC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面11BBCC的中心，则AD与平面11BBCC所成角的大小是(C)A．30B．45C．60D．90.【解】取BC的中点E，则AE面11BBCC，AEDE，因此AD与平面11BBCC所成角即为ADE，设ABa，则32AEa，2aDE，即有0tan3,60ADEADE．2．正三棱柱111ABCABC的棱长都为2，,,EFG为111,,ABAAAC的中点，则1BF与面GEF成角的正弦值（A）A．53B．65C．1033D．10633．把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以,,,ABCD四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（C）A．90B．60C．45D．30【解】：C当三棱锥DABC体积最大时，平面DACABC，取AC的中点O，则△DBO是等要直角三角形，即045DBO4.如图，在四边形ABCD中，4ADAB，7CDBC，点E为线段AD上的一点.现将DCE沿线段EC翻折到PEC（点D与点P重合），使得平面PAC平面ABCE，连接PA，PB.(Ⅰ)证明：BD平面PAC；(Ⅱ)若60BAD，且点E为线段AD的中点，求PE与平面ABCE所成角的正弦值.解：(Ⅰ)连接AC，BD交于点O,在四边形ABCD中，∵4ADAB，7CDBC∴ADCABC，∴BACDAC,∴BDAC又∵平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC∴BD平面PAC…………6分(Ⅱ)如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC并取AO中点F，连接EF，∵平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC，ACPH∴PH平面ABCE，∴PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，ABCA1B1C1GFEEDCMA（第5题）B由(Ⅰ)可知，BDAC，且32AO，3CO，又2PE，7PC，设xCH，则有27xPH，3222xPHPEEH又∵F为AO的中点，在EFHRt中，xFH32，1EF由勾股定理得，31)32(22xx，解得334x，∴332EH，335PH∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即33sinPEEHPEH.5.在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点．（Ⅰ）求证：CMEM；（Ⅱ）求直线DE与平面CEM所成角的正切值.解：(1)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．……2分又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EA…………………4分因为ABEA=A所以CM⊥平面EAB.所以CM⊥EM．…………………………………………7分(2)连结MD，设EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a，在直角梯形ABDE中，AB＝22a，M是AB的中点，所以DE＝3a，EM＝3a，DM＝6a，得△DEM是直角三角形，其中DM⊥EM，…………10分又因为DM⊥CM,因为EMCM=M,所以DM⊥平面CEM所以∠DEM是直线DE和平面CEM所成的角．……12分在Rt△DEM中，tan∠DEM＝623DMaEMa，故直线DE与平面CEM所成角的正切值为2.……14分EDCMA（第20题）BDACBCBADoCBAD6．在四边形ABCD中，BCADBCAB//,,且2,4,32BDABAD，沿BD将其折成一个二面角CBDA，使CDAB.（1）求折后AB与平面BCD所成的角的余弦值；（2）求折后点C到平面ABD的距离.解：（1）作AO⊥平面BCD于O，连结BO,则∠ABO为AB与平面BCD所成角.2分上的射影在平面是BCDABBOCDAB,，BOCD4分,coscoscosABODBOABD且由已知，易得060cosABD，030cosDBO，33cosABO所以，折后AB与平面BCD所成的角的余弦值为336分（2）连结AC，在Rt△ABO中，33cos,2ABOAB362.36sinAOABO8分BCDABDABDCBCDASSVV,10分所以，C到平面ABC的距离等于362AO12分7．如图，在直三棱柱111ABCABC中，∠ACB90°，∠BAC30°，1BC，16AA，M是棱1CC的中点.（Ⅰ）求证：1AB⊥AM；（Ⅱ）求直线AM与平面11AABB所成角的正弦值.第7题ABMA1B1C1C8.如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD是正方形，侧棱PA底面ABCD，ADPA，E、F分别是棱PD、BC的中点.（1）求证:PCAE；（2）求直线PF与平面PAC所成的角的正切值．解：因为PA底面ABCD，所以DCPA因为底面ABCD是正方形，所以DCADAPAAD，故,PADDC平面PADAE平面，所以DCAE，（3分）又因为ADPA，点E是棱PD的中点，所以PDAE，DDCPD，故,PDCAE平面PDCPC平面，所以PCAE.（7分）（２）过点F作HACFH于点，连接,PH由F是棱BC的中点，底面是正方形可得BDFHBDFH41,//，又由PA底面ABCD得到FHPA，APAAC，PACFH平面，所以FPH为直线PF与平面PAC所成的角，（10分）设1AD，得到42FH，在PAHRT中，434PH，1717tanPHFHFPH.（14分）9.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABC是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点.（1）求证：PA//平面BDM；（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值.PBCDFEAＨPBCDFEAPBCDFEA10.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点.（1）求证：PA//平面BDM；（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值.证明：连结AC，交BD于点O,连结MO因为MO是PAC的中位线，所以MOPA又因为MO面PAD中，所以MO面PAD（2）因为3ADCS，点M到面ADC的距离132h，所以1313322MADCV。因为PDC为等腰三角形，且M为PC的中点,所以DMPC。取PB的中点E,AD的中点N，连结ME,PN,NE,BN因为四边形DMEN为平行四边形所以DMNE又因为PNB为等腰三角形，所以NEPB所以DMPB.因为DMPC，DMPB且PBPCP所以DM面PBC.所以DMBC。因为BCAD所以ADDM，因为62DM所以1662222ADMS所以213MADCCADMADMVVSh所以262h所以2sin41.（2009北京卷文）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AECPDB平面；（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PDABCD底面，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AECPDB平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，12OEPD，又∵PDABCD底面，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，1222OEPDABAO，∴45AOE，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.2.（2009浙江卷文）如图，DC平面ABC，//EBDC，22ACBCEBDC，120ACB，,PQ分别为,AEAB的中点．（I）证明：//PQ平面ACD；（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：连接CQDP,，在ABE中，QP,分别是ABAE,的中点，所以BEPQ21//，又BEDC21//，所以DCPQ//，又PQ平面ACD，DC平面ACD，所以//PQ平面ACD（Ⅱ）在ABC中，BQAQBCAC,2，所以ABCQ而DC平面ABC，DCEB//，所以EB平面ABC而EB平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以CQ平面ABE由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以CQDP//所以DP平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，所以直线AD与平面ABE所成角是DAP在APDRt中，5122222DCACAD，1sin2CAQCQDP所以5551sinADDPDAP3.（2009江西卷文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；（3）求点O到平面ABM的距离．解：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM就是PC与平面ABM所成的角，且PNMPCDtantan22PDPNMPCDDC所求角为arctan22（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在Rt△PAD中，4PAAD，PDAM，所以M为PD中点，22DM，则O点到平面ABM的距离等于2。4.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱111ABCABC中，AB=4,17AA,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE1AE.（Ⅰ）证明：平面1ADE平面11ACCA;（Ⅱ）求直线AD和平面1ADE所成角的正弦值。解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知OAPBCMDONAPBCMDzxy1AA平面ABC.又DE平面ABC，所以DE1AA.而DE1AE，111AAAEA,所以DE⊥平面11ACCA.又DE平面1ADE，故平面1ADE⊥平面11ACCA.（Ⅱ）解法1:过点A作AF垂直1AE于点F,连接DF.由（Ⅰ）知，平面1ADE⊥平面11ACCA，所以AF平面1ADE,故ADF是直线AD和平面1ADE所成的角。因为DE11ACCA，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=23，AE=4-CE=4-12CD=3.又因为17AA，所以1AE=2211AEAAAE22(7)3=4,11374AEAAAFAE,21sin8AFADFAD.即直线AD和平面1ADE所成角的正弦值为218.5.如图，四棱锥S—ABCD的底面是菱形，∠ADC=120°，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0≤1).w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅰ)求证：对任意的（0，1），都有AC⊥BE；(Ⅱ)当=32时，求直线BC与平面ACE所成角的正弦值。解：（Ⅰ）连结BD交AC于点O，因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AC∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴AC⊥平面SBD而BE在平面SBD内∴AC⊥BE(Ⅱ)因为AD∥BC，所以直线AD与平面ACE所成的角就是直线BC与平面ACE所成的角由(Ⅰ)知，平面ACE⊥平面SBD，平面ACE∩平面