33 平面力系的合成与平衡

§3–4平面一般力系平衡方程和应用第三章平面力系的合成与平衡目录•平面一般力系的平衡条件及其应用。•教学要求：•1、掌握平面一般力系的平衡条件及其应用。重点：平面一般力系平衡方程的应用•难点：平衡方程的应用。•学时安排：2教学内容：一、平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的充分和必要条件是：力系的主矢和对力的作用面内任意一点的主矩同时为零。即：00oOMR§3–4平面一般力系平衡方程和应用0X0)(iAFm0)(iBFm②二矩式0)(iAFm0)(iBFm0)(iCFm③三矩式上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。0X0Y0)(iOFM①一矩式二、平面一般力系的平衡方程即：平面一般力系的平衡条件是各力在任选的两个正交轴上的投影分别为零；同时各力对刚体所在平面内任意一点之矩的代数和为零。一矩式0X0Y0)(iOFMA、B连线不与x轴垂直若力系再满足方程中第1式，则若合力不为零也只能通过A、B的连线且垂直于x轴方向。而附加条件A、B两点的连线不与x轴垂直，则排除了合力存在的可能性。所以，力系必定平衡。力系满足方程中后两式时，力系有两种可能：力系平衡或合力通过A、B两点的连线；二矩式0X0)(iAFm0)(iBFm若R通过AB连线且≠0，仍能满足2、3式成立其中A、B、C三点不能共线而附加条件A、B、C三点不共线，则排除了力系简化为通过A、B、C三点的连线的合力的可能。因此，力系必定平衡平面一般力系若同时满足联立方程中三个方程，则说明力系平衡或简化通过A、B、C三点的连线的合力；说明：从式一矩式、二矩式、三矩式方程可以看出，平面一般力系可以列出多个（大于三个）的平衡方程。但是对于所研究的对象来说，其中只有三个方程独立。因此，无论采用其中哪种形式的平衡方程，只能求解三个未知数。三矩式0)(iAFm0)(iBFm0)(iCFm[例1]已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：①选AB梁研究0)(iAFm由32,032PNaNaPBB0X0AX0Y3,0PYPNYABB②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）例2：如图（a）所示支架，杆AB与杆CD在A、D处用铰链分别连接于铅直墙上，并在C处与杆AB铰链在一起，在杆AB上作用一铅直力F。已知AC=CB，F=20kN。设各杆的自重不计，求A处的约束力和杆CD所受的力。（1）以杆AB为研究对象分析得，杆AB受力如图（c）所示解：杆CD为二力杆，其受力如图（b）所示AxFAyF60FCFACBD（c）60FACBDDFCF方法一根据一矩式得0)(00FMYXA0260sin060sin060coslFlFFFFFFCCAyCAx即：方法二根据二矩式得即：000)()(FMFMYDA060tan20260sin060sinlFlFlFlFFFFAxCCAyAxFAyF60FCFACBD（2）列平衡方程设AC=CB=l方法三根据二矩式得即：方法四根据二矩式得即：0)(0)(0FMFMXCD000)()(FMFMXCA00260sin060cosFllFlFlFFFAyCCAx0060tan2060cosFllFlFlFFFAyAxCAxAxFAyF60FCFACBD方法五根据二矩式得即：方法六根据三矩式得即：0)(0)(0FMFMYCD0060tan2060sinFllFlFlFFFFAyAxCAy000)()()(FMFMFMDCA060tan200260sinlFlFFllFlFlFAxAyCAxFAyF60FCFACBD（3）解平衡方程任解以上一组平衡方程可以得到同一种结果：KNFFFFKNFFKNFFCAyCAxc1060sin09.2360cos19.4660sin2式中负号表示约束力的实际方向与图示假设方向相反。对于平面一般力系可以列出多个方程，其中三个方程是独立的。采用多矩式比较简便，往往不用求解联立方程。解题说明：恰当地选取矩心（通常为多个未知力的交点），恰当的选取投影轴（通常为与多个未知力相垂直的轴），这样可以减少平衡方程中未知力的数目，易于解题，尽可能的实现一个方程只解一个未知数。例3：梁AB的支撑和载荷如图（a）所示。已知M，求支座A、B的约束力。（1）以梁AB为研究对象分析得，梁AB受力如图（b）所示解：（2）列平衡方程根据二矩式（3-6）得：000)()(FMFMXBA即：02020MaFMaFFAyByBxBACBxFAyFByFM（b）BACMa2a（a）（3）解平衡方程式中负号表示约束力的实际方向与图示假设方向相反。解之得：aMFFaMFByBxAy202如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。ABlqFM45例题42.列平衡方程045cos,0FFFAxx045sin,0FqlFFAyy045cos2,0MlFlqlMMAAF707.045cosFFFAx707.0FqlFAy707.0212MFlqlMA3.解方程1.取梁为研究对象，受力分析如图解：ABlqFM45qABxy45MFFAyMAlFAx3-17、c、e、h3-18、a、d作业