6-2 相对论的基本原理解析

1在总结新的实验事实之后，爱因斯坦(Einstein)提出了两条相对论的基本假设:(2)光速不变原理真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c,并与光源运动无关。(1)相对性原理所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同形式。也就是不通过力学现象,还是电磁现象,或其他现象,都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。一、相对论的基本原理§2相对论的基本原理洛伦兹变换2相对论的基本假设是和旧时空概念矛盾的。旧时空概念是从低速力学现象抽象出来的,集中反映在关于惯性坐标系的伽利略(Galileo)变换中。设惯性系´相对于以速度v运动,并选x和x´轴沿运动方向，伽利略变换式为.,,,ttzzyytvxx反映的时空观的特征是时间与空间的分离。时间在宇宙中均匀流逝着,而空间好象一个容器,两者之间没有联系，也不与物质运动发生关系。3如图，设有一光源和一些接收仪器,我们在惯性系观察闪光的发射和接收。取光源发出闪光时刻所在点为的原点O。在上观察，1秒之后光波到达半径为c的球面上，这时处于球面上的一些接收器(图中的P1、P2和P等)同时接收到光讯号。这球面是一个波阵面。在低速现象中还没有暴露出这种观点的错误,但是在高速现象中旧时空观与客观实际的矛盾立即显示出来。光速不变性与旧时空观矛盾的性质可以用一个简单例子说明。4再考察在另一惯性参考系´上对所发生的物理事件是怎样描述的。设´相对于以速度沿x轴方向运动,并取光源发光时刻所在点为的原点O´。即在光源发光时刻，两参考系和´的原点O和O´重合。当接收器接收到光波时，O´已经离开O。如图，当P1接收到讯号时，O´距P1较近,而距P2较远。但由于´上所测量的光速仍然是c，因此´上的观察者必然认为，光波到达P1的时刻必然较早于到达P2的时刻。原来在上观察到同时发生的两事件（P1和P2同时接收到光波），在´上看来就变为不同时。原来在上看到的波阵面是球面P1PP2，而在´上看来,由于光波不是同时到达此面上，因此波阵面不再是P1PP2面，而是另外一个以O´为球心的球面。5从这例子可以看出，光速不变性所导致的时空概念是和经典时空观有深刻矛盾的。所有最基本的时空概念，如同时性，距离，时间，速度等都要根据新的实验事实重新加以探讨。相对论的一个主要内容就是关于时空的理论。时间和空间是运动着的物质存在形式。时空概念是从物质运动中抽象出来的，而不是独立于物质运动之外的概念。离开物质及其运动，就没有所谓绝对的时空概念。在经典力学中，由低速现象抽象出来的时空观带有一定局限性，当我们研究高速现象特别是电磁波传播现象时，发现旧时空观与实验事实相矛盾，这是完全可以理解的。人们对时空的认识和对一切事物的认识一样，都是在不断的实践中逐步发展和加深的。6与旧时空观集中反映在伽利略变换式一样，相对论时空观集中反映在从一惯性系到另一惯性系的时空坐标变换式。现在我们根据相对论基本原理导出相对论时空坐标变换式。二、间隔不变性1.事件:这是从物质运动中抽象出来的概念，物质运动可以看作一连串事件的发展过程。事件可以有各种不同的具体内容，但是它总是在一定地点于一定时刻发生的。在惯性系上用四个坐标(x,y,z,t)表示，在另一惯性系´上用(x´,y´,z´,t´)表示。我们的任务就是导出这两组坐标之间的关系。这一关系一定是线性关系。7考虑两特殊事件：第一事件为光讯号在某时刻从O点发出，第二事件是在另一地点P接收到该讯号。选取两参考系的原点在闪光发出时刻重合，并且同时开始计时，即第一事件在两参考系中都用(0,0,0,0)表示。2.间隔和间隔不变性:考察光速不变性对时空变换的限制。设物体P接收到讯号的空时坐标在两参考系上分别为(x,y,z,t)和(x´,y´,z´,t´)由于两参考系上测出的光速都是c，因而有,22222tczyx.22222tczyx8022222tczyx022222tczyx对这两个特殊事件而言一般来说，两事件不一定用光讯号联系，它们可能用其他方式联系，或者根本没有任何联系。以第一事件空时坐标为(0,0,0,0)，则第二事件空时坐标(x,y,z,t)可以是任意的。在这情形下，二次式就不一定为零,而是可以取任意值。我们要寻找的就是在一般情况下，上述二次式应有什么关系。9)(2222222222tczyxAtczyx)(2222222222tczyxAtczyx由于系数A不依赖于相对速度的方向,因此上面两式中的A应该是一样的。比较以上两式可得A2=1,由变换的连续性应取A=＋1。因此有)()(2222222222zyxtczyxtc这是光速不变性的数学表示，它是相对论时空观的一个基本关系。等号两边的二次式叫做两事件之间的间隔。用S2表示。10即为事件(x,y,z,t)和事件(0,0,0,0)之间的间隔。)(222222zyxtcs为另一惯性参考系中观察到这两事件的间隔。)(222222zyxtcs22ss称为间隔不变性,它表示两事件的间隔不因参考系变换而改变。一般来说,两事件(x1，y1，z1，t1)与(x2，y2，z2，t2)的间隔21221221221222)()()()(zzyyxxttcs在另一参考系上观察这两事件的间隔为21221221221222)()()()(zzyyxxttcs仍有22ss11注意：若两事件在同一地点相继发生，令t2-t1=t，有s2=c2t2。在这情形下间隔就是光速乘以时间的平方。若两事件同时在不同地点发生，则s2=-(x)2。在这情形下，间隔就是两事件的空间距离平方的负值。间隔是相对论时空观的一个基本概念，可正可负。例1参考系´相对于以速度v沿x轴方向运动。在´上有一静止光源S和一反射镜M,两者相距为z0´。从S上向z´轴方向发出闪光，经M反射后回到S。求两参考系上观察到的闪光发出和接收的时间和间隔。12解:两参考系上观察到的物理过程如图所示。在´上观察，闪光发出和接收之间的时间为./20czt发出和接收是在同一地点S上发生，因此0zyx两事件的间隔.4)()()()()(20222222zzyxtcs13在上观察,设闪光发出和接收之间的时间为t，在这时间内，光源已运动了x=vt。光讯号传播的路程为tctvz2241022,2220vczt,2220vcvztvx.0zy两事件的间隔.420222222zzyxtcs140200)()()(zvzvvz得2(v)=1,再由变换的连续性应有(v)=1,因此00zz因而与v正交方向的距离是不变的。因为若z0´=(v)z0，由相对性原理应有z0=(-v)z0´。但由于空间没有特定方向，(v)只能依赖于v的数值，而不依赖于其方向。由比较以上两公式，得,122ctt.22ss由此可见，在两参考系中观察到的两事件之间的时间是不同的，但间隔s2则是一样的。15根据变换的线性和间隔不变性,可以导出相对论时空坐标变换关系。为了简单,选两坐标系的x轴和x´轴都沿´相对于的运动方向。这种情况下，y和z不变,变换具有特殊形式.,,,22211211ctaxatczzyyctaxax三、洛伦兹变换16由于x轴和x´轴正向相同,应取a11＞0;又由于时间t与t´的正向相同,应取a220。22222222212221211tczyxctaxazyctaxa比较系数得.1,0,122221222212111221211aaaaaaaa由第一和第三式得,1,12122222111aaaa代入第二式得2112aa这些系数都可以用´相对于的运动速度表出。17这些系数都可以用´相对于的运动速度表出。设´的原点为O´。在´上观察,O´点以速度v沿x轴方向运动，因此其坐标为x=vt。但O´点在´上的坐标永远是x´=0。因而由第一式有,01211ctavta.1112cvaa.)/(1/,)/(11222112222211cvcvaacvaa18所以，相对论时空坐标变换公式:.)/(1,,,)/(122222cvxcvttzzyycvvtxx19由上式解出x,y,z,t可得反变换式。用相对性原理可以更简单地导出反变换。因为和´是等价的,所以从系到´系的变换应该与从´系到系的变换具有相同形式。若´相对于的运动速度为v(沿x轴方向),则相对于´的速度为-v。因此只要把式中的v改为-v即得反变换式,,,)/(122zzyycvtvxx.)/(1222cvxcvtt20上述变换式称为洛伦兹变换式，它是同一事件在两不同参考系上观察的时空坐标之间的关系。洛伦兹变换反映相对论的时空观，其物理意义在下一节中讨论。例2在图中,设闪光从O点发出。在上观察，光讯号于1秒之后同时被P1和P2接收到。设´相对于的运动速度为0.8c,求P1和P2接收到讯号时在´上的时刻和位置。解:P1接收到讯号在上的空时坐标为(c,0,0,1)。这事件在´上观察时,由洛伦兹变换式得21.31)/(11,0,0,3)/(1)/(12222222cvcvtzyccvvccvvtxx22即P1接收到讯号时在´上的空时坐标为(c/3,0,0,1/3)。注意在´上测得沿x´轴方向的光速为x´/t´=c。P2接收到讯号时在上的空时坐标为(-c,0,0,1)。由洛伦兹变换式可得该事件在´上的空时坐标为(-3c,0,0,3)。注意沿-x´轴方向的光速仍为c。在上同时的两事件(P1和P2同时接收到讯号),在´上看来变为不同时，P1接收到光波较早于P2接收到光波。在和´上观察到P1和P2接收到讯号这两事件之间的时间差别,空间距离和间隔分别为22'224,310,38:,4,2,0:cscxtcscxt