6-2-积分在几何学上的应用：面积、体积、弧长(附曲率)

第二节积分在几何学上的应用第六章三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积二、体积曲边梯形的面积badxxfA)(1.直角坐标系情形一、平面图形的面积xxfA)(ab)(xfyAxbxaxxfy,),(梯形的面积轴所围成的曲边和一般的，由badxxf)(xyoabxx0)(xfybaydxxyo)(xgy)(xfyabbadxxgxfA)]()([xAbxaxxfxgxgyxfy,)),()(()(),(所围成的图形面积由推广：A一般情形，badxxgxfA)()(xxxgxf))()((例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点)1,1()0,0(xxxA)(2dxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解：两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选y为积分变量，A422)24(dyyyA.18注：此题如果以x为积分变量则计算较繁。注意选择合适的分割方式.xxy22oy4xy)4,8()2,2(yyyyyy]2)4[(2例3求椭圆12222byax的面积.解：由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ababxoyxxxd利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用换元积分法，原式.0)(],[)()(rrrr上连续且在积，其中所围成的曲边扇形的面、及射线问题：求由曲线2.极坐标系情形思路：用从极点出发的射线将曲边扇形分割成许多窄的曲边扇形，每个窄的曲边扇形用圆扇形面积近似。)(rrxA.)]([212drA2)]([21r对应从0变到2的一段弧与极轴所围图形的面积.例4.计算阿基米德螺线解:xa2o202d)(21aA.3423a2)(21a2032|)3(2a221rA例5求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解:2)]cos1([21aA利用对称性知.232a02)]cos1([212daAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0旋转体就是由一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1.旋转体的体积二、体积.0)cos1(,)sin(而成的旋转体的图形轴旋转轴、所围成的图形分别绕直线的一拱，由摆线例yxytayttaxxxxxyo)(xfy?,,),(体积体轴旋转一周所得的旋转围成的曲边梯形绕轴问题：求由连续曲线xbxaxxxfy思路：用垂直于x轴的平面将旋转体分割成许多小旋转体，每个小旋转体用小圆柱体体积近似。xxf2)]([dxxfVba2)]([Vdxyba2类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyxVdc2dyydc2)]([y例6连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解：hPxhryxo直线方程为OPxyV2dxxhrVh02)(hxhr03223.32hrxxhr2)(ayxb解:xaxbad)1(22202利用对称性axxaab03222312234aboxyVad220x解:?,4,8体的体积轴旋转一周所得的旋转轴和别绕轴围成的图形分求由曲线例yxxxxydxxVx240dyxVy220224.840xdxdyy2220)(32.5128xoab2.平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用积分计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数.V.)(badxxAVxxA)(例9一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解：取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan21)(2222xRxRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323Rxoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，如果此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.三、平面曲线弧长.lim110niiiMMs即弧长直角坐标情形近似）（小曲线段用小直线段xyx21)(xyyxsdxysbax21弧长bdsoxyABxas)(:xfyL22)()(dydx.长度几何上代表小切线段的.],[)()()(上具有一阶连续导数在且，设曲线弧的方程为baxfbxaxfyxydsx21其中称为弧微分，.badsds记作22)()(yx例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解:,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323ababbaxdxys21dxydsx21如果曲线弧用参数方程表示：),(,)()(ttyytxxdttytxs)()(22弧长22)()(yxsttytx)()(22ttyyttxx)()(),()(rrsin)(cos)(ryrx则dyxs)()(22弧长.)()(22drr如果曲线弧用极坐标方程表示：,为参数以ttytxds)()(22其中22)()(dydx.dsds记作例2求星形线323232ayx)0(a的全长.解:星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyxtt2022)()(4dttta20cossin34.6a第一象限部分的弧长例3求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解:drrs)()(22.)412ln(412222a20daa22220ad12要点:平面图形的面积badxxgxfA)]()([xxgxfA))()((注意选择合适的分割方式！2)]([21rAdrA2)]([211.直角坐标系情形2.极坐标系情形xyo)(xgy)(xfyabxx)(rrx第二节积分在几何学上的应用平行截面面面积为已知的立体体积旋转体的体积dxxfVba2)]([xxfV2)]([xoabxdxxxxAV)(.)(badxxAVxxxxyo)(xfy平面曲线的弧长2.参数方程方程:3.极坐标方程:1.直角坐标方程:dxysbax21弧长.badss弧长,)()(22dydxds其中称为弧微分.dttytxs)()(22弧长.)()(22drrs弧长bdsoxyABxas22)()(yxs附：曲率曲率是描述曲线上单位弧段弯曲程度的量．1M3M22MMM1s2sNN切线的转角越大，弧段弯曲程度越大转角相同，弧段越长平均弯曲程度越小1、曲率的定义1ss).M.MC0Myxo.sKMM的平均曲率为弧段设曲线C是光滑的，.0是基点M,sMM.切线转角为至MM定义sKs0lim曲线C在点M处的曲率,lim0存在的条件下在dsdss.dsdK表示单位弧段上切线转过的角度，反映曲线弧的平均弯曲程度。∴曲线的曲率反映曲线的切线倾角对弧长的变化率。)..例1直线例2圆,0所以直线的曲率处处为零。解:RssKs0lim.1RsRMM圆上各点处的曲率等于半径的倒数，且半径越大曲率越小.2、曲率的计算公式,)(二阶可导设曲线xfy,tanxy,12xxyydsdKss).M.MC0Myxo,的函数都是、注意到xsdxdsdxddsdxydxd2sec得2tan1xydxddxyxsxxx021)(而21xydxds23)1(2xxyyK)求导，两边对x.例3?2上哪一点的曲率最大抛物线cbxaxy解:,2baxy,2ay.])2(1[2232baxak显然,,2时当abx.最大k,)44,2(2为抛物线的顶点又aacbab.最大抛物线在顶点处的曲率23)1(2yyK3、曲率圆与曲率半径D)(xfyMk1).0(),()(kkyxMxfy处的曲率为在点定义：设曲线,:曲率中心D.:曲率半径xyo.,处的曲率圆点曲线在为半径作圆，称此圆为为圆心以MD.1,,kDMDM使得在凹的一侧取一点处的曲线的法线上在点所以可用曲率圆在点M附近的一段圆弧来近似代替曲线弧.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.D)(xfyMk1xyo即曲线及其曲率圆在点M处的一、二阶导数相同，为了避免磨削时有的地方磨不到的问题，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。8.0,8.0yxy所以选用砂轮的直径应不超过2.50单位长。?,.4.042才比较合适问用直径多大的砂轮面在要用砂轮磨削其内表现抛物线设工件内表面的截线为例xy8.0)0(,0)0(yy23)1(2yyK曲率.1.25曲率半径oxy24.0xy而抛物线在其顶点处的曲率半径最小.解:,8.0要点:描述曲线上单位弧段弯曲程度的量．.dsdK曲率∴曲线的曲率反映曲线的切线倾角对弧长的变化率。曲率的计算:.)1(232xxyyK曲率:曲率的定义:曲率