正弦定理、余弦定理和解斜三角形

第五章三角比5.5.4二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6.1正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理三角形中，sinsinsinabcABCAabcCB三角形面积公式三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半111sinsinsin222abCbcAacBS各边与它对角的正弦的比相等例1.在中，ABC10,130,30cAB求和该三角形的面积.ABC解：1801303020CsinsincAaC10sin130sin2022同理：sinsincBbC10sin30sin20151sin2SacB56解毕,ab(结果保留至个位数)例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边.(1)14,76,60abB(2)232,,453abB解:(1)sinsinaBAb或22135A45180,45ABA,18075CABsinsinbCcB(结果精确到0.01)76sin7519.12sin60例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边.(2)232,,453abB解:(2)sinsinaBAb或32120A60sinsinbCcB(结果精确到0.01)1.58当时，60,75ACsinsinbCcB0.42当时，120,15AC解毕一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做利用正弦定理(I)已知两角及任一边，求其他角和边；(II)已知两边与其中一边的对角，求其他角和边.解三角形三角形的元素，元素的过程叫做解三角形.可以解决以下两类解三角形问题：sinsinsinabcABC已知三角形的几个元素求其他课堂练习1.解三角形(角度精确到，边长精确到1cm)1(1)45,30,10ACccm(2)60,45,20ABccm2.解三角形(角度精确到，边长精确到1cm)1(1)20,11,30acmbcmB(2)54,39,115ccmbcmC3.在中，已知coscoscosabcABCABC试判断的形状.ABC课堂练习答案1.(1)14,105,19acmBbcm(2)75,18,15Cacmbcm2.(1)65,85,22ACccm(2)41,24,24BAacm或115,35,13ACccm3.等边三角形第五章三角比5.6.1正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.2正弦定理、余弦定理和解斜三角形余弦定理三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去2222coscababCAabcCB这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2222cosabcbcA2222cosbacacB另一种形式：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab例1.在中，求.ABC60,34,41bcA(角度精确到，边长精确到1)解：22603426034cos412222cosabcbcA41a1676.78222cos2abcCab33C0.84解毕1,,aCB221676.78603421676.7860180()180(4133)BAC106例2.在中，已知，求各解:120C36.6A角及其面积(精确到0.1)ABC3,2,19abc222cos2abcCab22232(19)23212同理，得222cos0.5962bcaAbc180()180(12036.6)BAC23.41sin2SabC13322.622解毕课堂练习1.解三角形(角度精确到，边长精确到1cm)1(1)5,2,60bcmccmA(2)10,24,26abc3.已知中，，求ABC8,7,60abBc2.已知三角形三边之比为，求最大内角.3:5:74.在中，是锐角，求证：CABC222abc课堂练习答案1.(1)4,97,23acmBC(2)23,67,90ABC2.1203.解：2222cosabcbcA28150cc解得123,5cc4.证：2222cos0abcabC222abc证毕一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做利用余弦定理及其变形(I)已知两边及夹角，求夹角的对边；(II)已知三边，求角.解三角形三角形的元素，元素的过程叫做解三角形.可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的几个元素求其他(III)已知两边及一边的对角，求边.第五章三角比5.6.2正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形扩充的正弦定理一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长sinsinsinabcABCACB2RDAD2sinsinsin90aaDCRAD证：a(同弧所对圆周角相等)90DBC(半圆弧所对圆周角为直角)证毕O例1.在中，，判断ABCcoscosaAbBABC的形状.解：根据正弦定理得2sin,2sinaRAbRB代入条件并化简得sincossincosAABB即sin2sin2AB2,2(0,)AB22AB或者22AB得或AB2AB所以为等腰三角形或直角三角形.ABC解毕例1.在中，，判断ABCcoscosaAbBABC的形状.解法二：根据余弦定理得222222cos,cos22bcaacbABbcac代入条件并化简得2222222()()()cababab所以为等腰三角形或直角三角形.ABC解得或ab222cab解毕例2.若锐角的三边长分别是，,1,2aaaaABC试确定的取值范围.解：0(1)2aaaa由两边之和大于第三边，解得1a由最大角为锐角，得222(1)(2)02(1)aaaaa解得3a综上，当时，边长满足条件.3a解毕课堂练习1.已知三角形边长为，求外接圆半径R.5,12,132.三角形满足，判定其形状.coscosaBbA3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度数.(精确到)4.在中，求证：ABCcossincossinacBBbcAA5,12,131课堂练习答案解：132sin90R1.已知三角形边长为，求外接圆半径R.5,12,135,12,13得132R2.三角形满足，判定其形状.coscosaBbA解：2sincos2sincosRABRBAsin()0AB得(,)AB0AB该三角形为等腰三角形.解毕解毕课堂练习答案3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度数.(精确到)1解：设边长为,1,2,aaaaZ1(1)2aaaa且222(1)(2)02(1)aaaaa化简得11aa13a且因此2a最大角余弦值为，14角度约为104解毕课堂练习答案4.在中，求证：ABCcossincossinacBBbcAA证：左边=2sin2sincos2sin2sincosRARCBRBRCAsinsincossinsincosACBBCAsinsincossincos()sin()CBCABCACcossincossinCBCA=右边证毕第五章三角比5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.4正弦定理、余弦定理和解斜三角形例1.设两点在河的两岸，要测量两点之间的,AB距离，测量者与在同侧，选定所在河岸一点，AC测出距离，AC55m51,75BACACB求两点间的距离(精确到),AB0.1解：由正弦定理，得sinsinACACBABABC55sin75sin(1805175)65.7()m答略解毕BAC问题一测量可视但不可达的距离分析根据例1测出,CDBACD,ACBC再测出ACB解：在河岸选定两点测得CDa,BCAACDCDBa问题一测量可视但不可达的距离例2.设两点都在河的对岸(不可到达)，设计一,AB种测量两点间距离的方法.,AB,BDA问题一测量可视但不可达的距离例2.设两点都在河的对岸(不可到达)，设计一,AB种测量两点间距离的方法.,ABBACDa解：在中，ACDsin()sin(180)aACsinsin(180)aBC同理在中BCD222cosABACBCACBC解毕问题二测量底部和顶部可视不可达的物体的高度例3.河对岸矗立着一座塔，设计一种测量塔高ABAB的方法.分析根据例1的方法测出再测出仰角ACB,CD解：在河岸选定两点测得CDa仰角ACB,BCDBDCCBABaCD问题二测量底部和顶部可视不可达的物体的高度例3.河对岸矗立着一座塔，设计一种测量塔高ABAB的方法.解:在中ABCDBCDsinsin(180)aBC在中，ABCtanABBC因此sintansin()aBC解毕a(选用)问题三测量角度例4.一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行A67.5海里后到达海岛，然后从出发，沿北偏B75B东的方向航行54.0海里后到达海岛.如果下次32C航行直接从出发到.此船应沿怎样的方向航行AC需要航行多少距离？(精确到0.1)ABC7532(选用)问题三测量角度ABC7532例4.一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行A67.5海里后到达海岛，然后从出发，沿北偏B75B东的方向航行54.0海里后到达海岛.如果下次32C航行直接从出发到.此船应沿怎样的方向航行AC需要航行多少距离？(精确到0.1)54.067.5解:(18075)32ABC137222cosACABBCABBCABC2267.554.0267.554.0cos137113.2(海里)在中，由余弦定理，得ABC(选用)问题三测量角度ABC7532例4.一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行A67.5海里后到达海岛，然后从出发，沿北偏B75B东的方向航行54.0海里后到达海岛.如果下次32C航行直接从出发到.此船应沿怎样的方向航行AC需要航行多少距离？(精确到0.1)54.067.5续解:(海里)由正弦定理，得sinsinBCABCCABAC54.0sin137113.15137,113.2ABCAC0.325519.0CAB7556.0CAB答略解毕