正弦定理、余弦定理和解斜三角形ⅣⅤ

ABCO．的外接圆，直径为是如图：已知圆RABCO2的三边长．的三角比来表示三角形、、与试用CBARDabcCDBDB，连作直径解：过为直角三角形则BCDRBDAD2，中在BCDRtDBDasinARsin2RAa2sinRCcBbAa2sinsinsin扩充的正弦定理一、扩充的正弦定理变形得：RCcBbAa2sinsinsin扩充的正弦定理ARasin2BRbsin2CRcsin2RaA2sinRbB2sinRcC2sinABCSABCR是的外接圆的半径，是、设例1的面积，求证：；　RabcS4)1(．　CBARSsinsinsin2)2(2三角形的边角、面积和外接圆半径之间有着密切关系RabcRcabCabS4221sin21)1(证：CBRARCabSsinsin2sin221sin21)2(CBARsinsinsin22二、扩充正弦定理的应用中，、在例ABC2．求证：CabAbBasin22sin2sin22AAbBBaAbBacossin2cossin22sin2sin2222证：bcacbRabacbcaRba22222222222222RcacbabRcbcaab22222222)(2222222acbbcaRcabCabRabcsin222的余弦值．　　求，中在例ABCCBAABC、4:3:2sin:sin:sin3sin:sin:sin::ABCabc结论：＝4:3:22:2:2RcRbRa4:3:2::cba)0(432xxcxbxa，，可设16114229164cos222xxxxxABC4:3:2sin:sin:sinCBA解：1222bccba解：bcacb222212cos222bcacbA120A满足、、的三边若cbaABC、ex2的值．，求Cabcbacba3))((abcbaba32222解：abcba222212cos222abcbaC3C，中，已知在1sinsinsinsinsinx1222CBCBAABC、e的大小．求AAbBacoscos)1(解：)2()2(222222bcacbbacbcaa222222acbbca2222baba为等腰三角形ABC得法二：由AbBacoscosABRBARcossin2cossin20cossincossinABBA0sin）（即BABA．；　　BbAaAbBacoscos)2(coscos)1(角形的形状根据下列条件，判断三例、4为等腰三角形ABCBbAacoscos法一：由)2()2(222222acbcabbcacba0422422bcbaca0))((22222bacba角形为等腰三角形或直角三ABC222bacba或得法二：由BbAacoscosBBRAARcossin2cossin2BA2sin2sinBABA2222或2BABA或即BbAacoscos)2(角形为等腰三角形或直角三ABC.cos23的形状，判断中已知、在ABCCbaABCex在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理统一为角或边的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合两者运用．CBAcossin2sin法一：由正弦定理得baabcbaC22cos222法二：由余弦定理得为等腰三角形ABCCBCBCBCBcossin2sincoscossin)sin(0)sin(sincoscossinCBCBCBCBCB即023)sin(BA为锐角三角形ABC60C的两根是方程、又02322xxba232abba，Cabbaccos2222abba3)(266122323221sin21CabSABC6c．、、求SCc023252xxba是方程、、锐角三角形中，例，满足、的两根，03)sin(2BABA03)sin(2BA解：CsinABCD中，解：在ABDAABADABADBDcos22224822643429648cmBD34中，在ABCBBCABBCABACcos2222240cmAC154AABADSsin212平行四边形248226434212cm，求平行四边形的两条，夹角为　4534cm和邻边分别是、已知平行四边形两条例cm646对角线长和面积．ABCD中，证：在ABDAABADABADBDcos2222中，在ABCBBCABBCABACcos2222定理：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和．ABBAcoscosABCABBCABACcos2222)(22222BCABACBDAABADSsin平行四边形#得证，，，中，如图4334ACBCABABC、ex的长．边上中线求BDACABCD中，解：在ABCBCACABBCACC2cos22212113423916中，在BCDCCDBCCDBCBDcos222221211232492BD2、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin(其中：R为△ABC的外接圆半径)3、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2sin2sin2，，RcCRbBRaA2sin2sin2sin，，cbaCBA::sin:sin:sin1、三角形面积公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin21三、阶段小结CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时经常用到，要记熟并灵活地加以运用：ABCCBACBAcos)cos(sin)sin(，2sin2cos2cos2sinCBACBA，4、余弦定理：角形的形状根据下列条件，判断三、ex110:8:6)1(三角形的三边之比为1tantan0)2(BABAbatantan)3(22CABsinsincos2)4(　求最长边的长3133:5:7::2ScbaABC、ex，且中，若在