正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)

课前探究学习课堂讲练互动进一步熟悉正、余弦定理的应用．学会利用正、余弦定理解较简单的综合题．习题课正弦定理与余弦定理【课标要求】【核心扫描】利用正弦定理和余弦定理实现边角转化，从而判断出三角形形状．(重点)利用正、余弦定理进行边角转化、代数变形、三角恒等变形等．(重点、难点)1．2．1．2．课前探究学习课堂讲练互动解三角形(1)把三角形的________________和它们的____________叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求_________的过程叫做解三角形．试一试：在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.自学导引1．三个角A，B，C对边a、b、c其他元素提示23π课前探究学习课堂讲练互动利用正弦、余弦定理求角的区别余弦定理正弦定理相同点先求某种三角函数值再求角不同点条件知三边知二边一角依据求角解方程cosA＝m，A∈(0，π)解方程sinA＝mA∈(0，π)，检验y＝cosx在(0，π)上为减函数，解方程所得解唯一y＝sinx在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验cosA＝b2＋c2－a22bc等sinA＝asinBb等2．课前探究学习课堂讲练互动正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理体现了三角形中的边角关系，能实现边角的互化，应用这两个定理可解决以下几类问题：名师点睛已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解1．课前探究学习课堂讲练互动续表两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解课前探究学习课堂讲练互动解三角形常用的边角关系及公式总结(1)三角形内角和等于180°(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．(3)三角形中大边对大角，小边对小角．(4)三角函数的恒等变形：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.(5)三角恒等变换公式，如和、差角公式，倍角公式的正用与逆用等．2.课前探究学习课堂讲练互动题型一已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[思路探索]本题可直接利用余弦定理求边长c，也可先由正弦定理求出B，进而求出C，然后利用正弦定理或余弦定理求出边长c.【例1】在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝23，b＝6，A＝45°，求边长c.解法一在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－23c－6＝0，所以c＝3±3.因为c0，所以c＝3＋3.课前探究学习课堂讲练互动规律方法已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法如下：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再应用正弦定理求出第三边．法二在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12，因为ba，所以BA，B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sinCsin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24，故c＝asinCsinA＝23×6＋2422＝3＋3.课前探究学习课堂讲练互动【训练1】在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝33，B＝30°，求边长a.解法一根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，所以32＝a2＋(33)2－2a·33·cos30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.法二根据正弦定理得sinC＝csinBb＝33sin30°3＝32.因为cb，所以CB，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，此时a＝b2＋c2＝6；当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝3.课前探究学习课堂讲练互动在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.[思路探索]所证式子为既有边又有角的三角函数式，考虑利用正弦定理将边转化为角．解由正弦定理的推广得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，于是a2sin2B＋b2sin2A＝(2RsinA)2·sin2B＋(2RsinB)2·sin2A＝8R2·sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsin(A＋B)，由A＋B＝π－C，得上式＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.所以原式成立．【例2】题型二证明三角恒等式课前探究学习课堂讲练互动规律方法有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系．从某种意义上看，这类问题就是有目标的对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判断三角形形状类似：边化为角或者角化为边．课前探究学习课堂讲练互动【训练2】在△ABC中，求证：a－c·cosBb－c·cosA＝sinBsinA.证明法一化角为边左边＝a－ca2＋c2－b22acb－cb2＋c2－a22bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝2RsinB2RsinA＝sinBsinA＝右边．法二化边为角左边＝sinA－sinC·cosBsinB－sinC·cosA＝sinB＋C－sinC·cosBsinA＋C－sinC·cosA＝sinB·cosCsinA·cosC＝sinBsinA＝右边．课前探究学习课堂讲练互动(本题满分12分)在△ABC中，ABC，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．审题指导正弦定理与余弦定理常常综合考查．若三角形中的边角关系较为复杂，则在化简求值时，要选择合适的转化方向．【解题流程】【例3】题型三正弦定理、余弦定理的综合应用课前探究学习课堂讲练互动[规范解答]在△ABC中，由正弦定理得，asinA＝csinC，(2分)∴ac＝sinAsinC＝sin2CsinC＝2cosC，即cosC＝a2c.(4分)由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab.又∵a＋c＝2b，∴b＝a＋c2，(6分)∴a2c＝a2－c2＋14a＋c22a·a＋c2.整理得2a3－3a2c＋3c3－2ac2＝0，(8分)课前探究学习课堂讲练互动【题后反思】余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互化的，所以在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．即(c2－a2)(3c－2a)＝0.解得a＝c或a＝32c，∵AC，∴ac，∴a＝c不合题意．(10分)当a＝32c时，b＝12(a＋c)＝54c.∴a∶b∶c＝32c∶54c∶c＝6∶5∶4.(12分)课前探究学习课堂讲练互动【训练3】已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC．(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sinC，求C的度数．解(1)由题意及正弦定理，得AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.(2)由△ABC的面积12BC·AC·sinC＝16sinC，得BC·AC＝13.由余弦定理，得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC＋BC2－2AC·BC－AB22AC·BC＝12.所以C＝60°.课前探究学习课堂讲练互动转化与化归思想是指在研究和解决有关问题时采用某种手段将问题转化得到解决的一种解题策略．一般是把复杂的问题通过变换转化为简单的问题，把抽象问题转化为具体问题，把较难的问题转化为容易求解的问题，把未解决的问题转化为已解决的问题．在本节中通过转化与化归思想，一般把需要解决的问题转化为三角形中的边角问题，应用正弦、余弦定理完成边角的转化，使问题得以解决．方法技巧转化与化归思想1．2．3．课前探究学习课堂讲练互动(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．[思路分析]【示例】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.课前探究学习课堂讲练互动解(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－14，及0Cπ，所以sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14，及0Cπ，得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得b2±6b－12＝0.解得b＝6或26，所以b＝6c＝4或b＝26c＝4.课前探究学习课堂讲练互动方法点评三角形问题的一般解题方法(1)合理利用三角公式，如cos2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1等．(2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现边角转化．