正弦定理与余弦定理的应用(精)

1.1.2正、余弦定理在实际生活中的应用课前回顾（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC＝2R（3）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222abcbaC2cos222（4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。教学目标1，通过实例，使学生认识到运用正弦定理、余弦定理可以解决一些测量和几何计算有关的实际问题，提高学生应用数学知识的能力。2，通过学习，学生能合理的选择正弦定理、余弦定理进行运算。学习要求1,通过教学，培养学生数学的建模能力。2，通过测量与几何运算，体现三角知识的重要性。了解有关测量术语:a.仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线的下方的时叫俯角.b.方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东300,南偏西450.c.方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目标方向线的水平角.d.坡度是坡面与水平面所成的角的度数.下面是几个测量距离问题实例一1,如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米,，.求A,B两点间的距离.75ACBBCA∠BAC=45°,例１、如图，为了测量河对岸两点Ａ、Ｂ之间的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ADC=85°,∠BDC=60°,∠ACD=47°,∠BCD=72°,CD=100m.设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一个平面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１m）．ＤＣＡＢ解：在△ＡＤＣ中，∠ADC＝85°,∠ACD=47°,则∠DＡＣ=4８°，又ＤＣ＝100，由正弦定理，得：)(05.13448sin85sin100sinsinmDACADCDCAC在△ＢＤＣ中，∠BDC=60°,∠BCD=72°,则∠DＢC=４８°．又ＤＣ＝100，由正弦定理，得)(54.11648sin60sin100sinsinmDBCBDCDCBC在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得ACBBCACBCACABcos2222222134.05116.54cos253233.95134.05116.54所以ＡＢ≈５７（m）.答：Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７m.如图,隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得∠ACB=750,∠BCD=450,∠ADC=300，∠ADB=450(A、B、C、D在同一平面)，求两目标AB之间的距离。3ABCD学生练习一一海轮以20nmile/h的速度向正东航行,它在A点测得灯塔P在船的北600东,2个小时后船到达B点时,测得灯塔在船的北450东,求(1)船在B点时与灯塔P的距离.(2)已知以P为圆心,55nmile的半径的圆形水域内有暗礁,那么船工继续向正东航行,有无触礁的危险.学生练习二练习三某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向.它以每小时36海里的速度向正北方向航行,经过40分钟航行到B处看灯塔S在北偏东方向.求此时货轮到灯塔S的距离.307516.97米练习四12ABAB10201202如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向向匀速直线航行。当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？302海里如图，货轮在海上以40nmile/h的速度由B向C航行，航行的方位角140°，在B处测得A处有灯塔，其方位角110°，在C处观察灯塔A的方位角35°，由B到C需0.5h航行，求C到灯塔A的距离。210610213202)13(20232420322034008002AC∴练习五某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，求这两个航标间的距离。WNES4530PCBA练习六（1）准确地理解题意；（2）正确地作出图形；（3）把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；（４）再根据实际意义和精确度的要求给出答案．解三角形应用题的一般步骤：测量距离的方法：测量两点间距离把距离看成三角形的边利用正余定理进行求解实际问题解三角形问题二、关于测量的问题高度练习1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是和4560，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想实例讲解实例讲解AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184.2836182211BCBA)(9.295.14.2811mAABAAB答：烟囱的高为29.9m.例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。解：在⊿ABC中，∠C=25°--15°=10°.根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524.710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度约为1047米。BDAC5km15°25°8°练习二•一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得山顶D位于正东北方,且由A到B的图中测得对山顶D的最大仰角为30°,求山高例4在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3.27)sin(sincossin,''''mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，P15练习22.测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC=60m，塔顶B的仰角a是45°,已知山坡的倾斜角是30°，求井架高BC。三、下面是几个测量角度问题例２、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为10nmile的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以９nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°,时间精确到１min）北北ＡBC105°方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角．北北ＡBC105°解：设舰艇收到信号后xh在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝21x，ＢＣ＝９x，又AC=10,∠ACB=45°+(180°－105°)=120°.由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222109cos120(21)(9)10xxx化简得：0109362xx解得：x=２／３（h）=40(min)(负值舍去）由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角为45°+21.8°=66.8°答：舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过４０min就可靠近渔轮．练习一如图.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援.同时把消息告知在甲船的南偏西.相距10海里C处的乙船,试问已船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处营救(角度精确到1).30ABC071练习二•同步地球卫星在赤道上空35800Km的轨道上,它每24小时绕地球一周,所以它定位于赤道上某一点的上空,如果此点与北京在同一条子午线上,北京的纬度是北纬40°,求在北京观察此卫星的仰角(取地球半径是6400km)071