正弦定理与余弦定理的综合应用

正弦定理与余弦定理的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13，则cosC=.【答案】-【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cosC==-.2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A=.【答案】【解析】由sinC=2sinB得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，所以cosA==，所以角A=.3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为nmile/h.1222278-132781233π63337222-2bcabc32π6(第3题)【答案】4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinA+csinC-asinC=bsinB，则角B=.【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，故cosB=，因此B=45°.5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为.【答案】【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cosB==≥，因为0Bπ，所以0B≤.17622222π03，222-2acbac22-2acacac12π31.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.2.求解三角形实际问题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.【要点导学】要点导学各个击破利用正、余弦定理解常见的三角问题例1(2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asinB=2.(1)求角A的大小；(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.【解答】(1)由正弦定理，得asinB=bsinA.因为b=4，asinB=2，所以sinA=.又0A，所以A=.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=16+36-2×24×=28，所以a=2.又因为asinB=2，所以sinB=，所以cosB=.因为D为BC的中点，所以BD=DC=.在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB，即AD2=36+7-2×6××=19，所以AD=.变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sinAsin3332π2π312732172777727719C.(1)若a=b，求cosB的值；(2)若B=90°，且a=，求△ABC的面积.【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又因为a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cosB==.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a=.所以△ABC的面积为1.【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.实际问题中解三角形例22011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80nmile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40nmile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.2222-2acbac142(例2(1))(1)若救援船的航行速度为60nmile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(≈2.646，结果保留两位小数)；(2)求tanθ的值.【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本关系求出tan∠ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.(例2(2))【解答】(1)如图(2)，在△ABC中，AB=80，AC=40，∠BAC=120°，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°，即BC==40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为72218040-28040-2740÷60=≈1.76(h).(2)在△ABC中，由正弦定理可得=，则sin∠ACB=·sin∠BAC=.显然∠ACB为锐角，故cos∠ACB=，tan∠ACB=，而θ=∠ACB+30°.所以tanθ=tan(∠ACB+30°)==.变式如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5km的E港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.(变式)【解答】设∠ABE=θ，船的速度为vkm/h，则BC=v，BE=v，在△ABE中，=，即sinθ=.7273sinABACBsinBCBACABBC2172773200tantan301-tan30tanACBACB53343135sin013sin30v152v在△ABC中，=，即AC===.在△ACE中，=25+-2×5××cos150°，化简得v2=25++100=，即v2=93，所以v=.故船速为km/h.例3(2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.(例3)(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB=hm，在Rt△ABE中，∠AEB=60°，0sin(180-)AC043sin120v4sin332v4153232vv203253v22032032594003775393933CD可求得EB=h.(1)在Rt△ABO中，∠AOB=30°，OB=h，由OE=10，可求出AB.(2)在Rt△ABC中，∠ACB=45°，BC=AB，在△CBO中，求出cos∠COB，在△CEO中，求CE的长.【解答】(1)设AB的高度为hm.在△CAB中，因为∠ACB=45°，所以CB=h.在△OAB和△EAB中，因为∠AOB=30°，∠AEB=60°，所以OB=h，EB=h.由题意得h-=10，解得h=15.答：烟囱的高度为15m.(2)在△OBC中，OC=10m，OB=15m，BC=15m，所以cos∠COB===，所以在△OCE中，OC=10m，OE=10m，所以CE2=OC2+OE2-2OC·OEcos∠COE=300+300-600×=100.答：CE的长为10m.变式(2015·苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从A处以每小时30nmile的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A南偏西75°方向且与A相距10nmile处.当甲船航行20min到达C处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D处，此时两船相距10n3333333333h333222-2?OCOBBCOCOB3002253-22521031535633562mile.(变式(1))(1)求乙船每小时航行多少海里?(2)在C处的北偏西30°方向且与C相距nmile处有一个暗礁E，暗礁E周围nmile范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?如无危险，请说明理由.(变式(2))【解答】(1)如图(2)，连接AD，由题知CD=10，AC=×30=10，∠ACD=60°，所以△ACD为等边三角形，所以AD=10，又因为∠DAB=45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AB×ADcos45°=100，BD=10，v=10×3=30(nmile/h).答：乙船的速度为每小时30nmile.83322060(2)在海平面内，以点B为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心，半径为r=的圆内，因为∠DAB=∠DBA=45°，易知直线BD的方程为y=x，E的横坐标为ABcos15°-CEsin30°，纵坐标为ABsin15°+CEcos30°+AC，求得A(5+5，5-5)，C(5+5，5+5)，E，点E到直线BD的距离为d1==1，故乙船有危险；点E到直线AC的距离为d2=，故甲船没有危险.以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长为l=2=2，所以乙船遭遇危险持续时间t==(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续h后脱险.解三角形中的不等关系微课9●典型示例例4如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上.23333311359532，|5311-9-53|2243322221-rd2301151152(例4)(1)若OM=，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【思维导图】【规范解答】(1)在△OMP中，∠P=45°，OM=，OP=2.由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos45°，得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得=，所以OM=，同理ON=，故S△OMN=×OM×ON×sin∠MON=×=552sinOMOPMsinOPOMP00sin45sin(45)OP00sin45sin(75)OP121422000sin45sin(45)sin(75)OP0001sin(45)sin(4530)=====.因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°.所以当α=30°时，sin(2α+30°)取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为8-4.●总结归纳(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.●题组强化1.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【答案】【解析】由sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c，000131sin(45)sin(45)cos(45)22