正弦定理余弦定理及解三角形一轮复习课件

§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形数学RA（文）第四章三角函数、解三角形基础知识题型分类思想方法练出高分1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习bsinBcsinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC基础知识题型分类思想方法练出高分变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习2RsinB2RsinCb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22ab基础知识题型分类思想方法练出高分2．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解基础知识题型分类思想方法练出高分4．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习上方下方基础知识题型分类思想方法练出高分(3)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习正北基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345D基础知识·自主学习302(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×夯实基础突破疑难夯基释疑B27基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2题型一正、余弦定理的简单应用思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)由sinC＝23sinB利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A.题型一正、余弦定理的简单应用(2)要求sinB＋sinC的最大值，显然要将角B，C统一成一个角，故需先求角A，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A.思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)∵sinC＝23sinB，由正弦定理得c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°.题型一正、余弦定理的简单应用思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(2)已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，题型一正、余弦定理的简单应用即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A为三角形的内角，∴A＝120°.思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析故sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)，题型一正、余弦定理的简单应用故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2题型分类·深度剖析题型一正、余弦定理的简单应用AB思维启迪解析答案思维升华故sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)，故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2题型分类·深度剖析(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．题型一正、余弦定理的简单应用AB思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2题型分类·深度剖析(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．题型一正、余弦定理的简单应用AB思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分解析(1)由正弦定理bsinB＝csinC，将8b＝5c及C＝2B代入得bsinB＝85bsin2B，题型分类·深度剖析化简得1sinB＝852sinBcosB，则cosB＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×(45)2－1＝725，故选A.跟踪训练1(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()A.725B．－725C．±725D.2425(2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()A.725B．－725C．±725D.2425(2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．(2)∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝π3.题型分类·深度剖析由正弦定理知：sinA＝asinBb＝12，又ab，∴AB，∴A＝π6.Aπ6基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二正弦定理、余弦定理的综合应用【例2】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用思维启迪解析思维升华【例2】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用又0Aπ，故A＝π3.思维启迪解析思维升华【例2】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.思维启迪解析思维升华【例2】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．题型二正弦定理、余弦定理的综合应用(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．思维启迪解析思维升华【例2】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π