2013届高考数学考点回归总复习课件41

第四十一讲双曲线回归课本1.双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1､F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.即(||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|).若常数等于|F1F2|,则轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线.提示:若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.2.双曲线的标准方程及简单几何性质3.双曲线中的几何量及其他问题(1)实轴|A1A2|=2a,虚轴|B1B2|=2b,焦距|F1F2|=2c,且满足c2=a2+b2.(2)离心率:(3)焦点在x轴上的双曲线的焦半径:|PF1|=ex0+a(x00),|PF2|=ex0-a(x00);或|PF1|=-ex0-a(x00),|PF2|=-ex0+a(x00).(1).ceea2222222222222222222211.2.0(64:)11yx,5:(R0).,.xyyxaaaaexyabxyabxyyxabba等轴双曲线方程或其渐近线方程为离心率共渐近线的双曲线系方程为且与互为共轭双曲线有相同的渐近线、相同的焦距考点陪练1.动点P到定点F1(1,0)的距离比到定点F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.一条射线D.两条射线解析:因|PF2|=|PF1|-2=|F1F2|,则点P的轨迹是以F1为端点的一条射线.故选C.答案:C评析:当动点到两定点的距离之差的绝对值为定值,即||PF1|-|PF2||=2a时,要注意两点:判断2a与|F1F2|的大小关系,其大小关系决定动点P的轨迹是双曲线还是射线.(1)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1､F2为起点的射线;(2)当2a|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1､F2为焦点的双曲线;(3)当2a|F1F2|时,无满足条件的动点.2.ABC,ABC120,A121BC3..22.12.13()ABCD设是等腰三角形则以､为焦点且过点的双曲线的离心率为:2c,2a.ABCB2||23.2|||c.ABC,B|2(31),131.23.1ACcaCACBccea解析设双曲线的焦距为实轴长为则由余弦定理得又双曲线以､为焦点且过点则由双曲线的定义得故选答案:B121212223.P,F,F,PFPF32112.63.12.12,PFF()3.24yxABCD设为双曲线上的一点是该双曲线的两个焦点若：：则的面积为121212122221212122211||2213,:PFPF2,PFPF32,PF6,PF4,PFPFFF,PFF1||||12.B2..PFFFFcSPFPF解析由双曲线的定义得又：：所以又所以即为直角三角形故选答案:B评析:遇到焦点三角形问题,要回归定义建立三角形的三边关系,然后一般运用正余弦定理和三角形的面积公式即可迎刃而解.121212222214.FF,FFM1(0,0).423.3131..31FF,MF,()2xyababABCD已知､是双曲线的两焦点以线段为边作正三角形若边的中点在双曲线上则双曲线的离心率是212111212211:MFFMF,MFP,FPF90,PFF60,:||3,||.2||||(31),231,31D.PFcPFcaPFPFccea解析因为是正三角形且边的中点在双曲线上则设边的中点为有从而所以根据双曲线的定义可知解得故选答案:D222222225.2,4,0,.1.1412124,0,(4.1.1106)610xyxyABxyxyCD已知双曲线的离心率为两焦点是则双曲线方程为2222222:4,0,4,0,c4.a2.bca4212.x,A.42,1.412ceaaxy解析由已知双曲线的焦点是可知因为离心率所以所以又因为由已知的焦点坐标可知焦点在轴上所以双曲线方程为故选答案:A2222:ac,ca,bcab.cea评析由于不能直接由离心率的值来得出与的值所以应根据焦点坐标得到值后再利用的比值关系求出从而再利用的关系式求出即可类型一双曲线的定义解题准备:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.【典例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.[分析]利用两圆内､外切的充要条件找出M点满足的几何条件,结合双曲线定义求解.11212121222221222||2,||2,||||22.22||.[]Mr,C4,0,C4,0,|CC|8,2,4,1(,MC4,0C4,0.2).2bca,14M41MCrMCrMCMCCCacxyx解设动圆的半径为则由已知又根据双曲线定义知点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支点的轨是≥迹方程[反思感悟]容易用错双曲线的定义将点M的轨迹误以为是整条双曲线从而得出方程后没有限制求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性.2.x≤类型二求双曲线的标准方程222222222222221(0);,(0);1(023);:1xyabxyttabbyxaxyttabxymnmn解题准备待定系数法求双曲线方程最常用的设法与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为若双曲线的渐近线方程为则双曲线方程可设为过两个已知点的双曲线方程可设为注意:在双曲线的标准方程中,若x2的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上,且对于双曲线,a不一定大于b.2,.14x3y0;2P0,6,135,3,4;3,03.3,xy【典例】根据下列条件求双曲线的标准方程经过点且一条渐近线方程为与两个焦点的连线互相垂直与两个顶点连线的夹角为焦点在坐标轴上的双曲线它的两条渐近线方程为焦点到渐近线的距离为[分析]利用待定系数法､双曲线定义或双曲线系等知识求双曲线标准方程.2222222222222215415,5,41,1534[]14x3y039,1,16.42,31.9516,x,xxyabaabbbaxy解因直线与渐近线的交点坐标为而故双曲线的焦点在轴上设其方程为由解得故所求的双曲线方程为121212222222FF,,x,PFPF,OP6,2c|FF2OP|12,c6.PaOPbca2,323,61.244.12tanxy设、为双曲线的两个焦点依题意它的焦点在轴上且又与两顶点连线夹角为故所求的双曲线方程为222222233xy0,030.,3,ab,4,3(2,0cab).3xy因双曲线的渐近线方程为故设双曲线方程为当时焦点坐标为22222222293233,21.391,34,330,,0,a,bab,2.c3xyyx根据点到直线的距离公式有得此时双曲线方程为当时双曲线方程可化为即故焦点坐标为2222223,31.27911.3927927,yxxyyx根据点到直线的距离公式有得此时双曲线的标准方程为故所求双曲线的方程为或[反思感悟]对焦点位置判断不准或忽略对双曲线焦点所在坐标轴的讨论,是导致方程出错的主要原因.利用待定系数法求双曲线的标准方程,是最重要的方法之一,但要注意对焦点所在坐标轴的判断或讨论;利用共渐近线的双曲线方程求其标准方程,往往可以简化运算,但也应注意对焦点所在坐标轴的讨论.类型三双曲线的几何性质解题准备:双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点､两个顶点､两个虚轴的端点),“四线”(两条对称轴､两条渐近线),“两形”(中心､焦点以及虚轴端点构成的三角形,双曲线上一点和两焦点构成的三角形),研究它们之间的相互联系.明确a､b､c､e的几何意义及它们的相互关系,简化解题过程.22221(1,0)32c,la,0450,b1,0l1,0l,e.xyababsc【典例】双曲线的焦距为直线过点和且点到直线的距离与点到直线的距离之和求双曲线的离心率的取值范围≥[]sac,?45,.ccea分析用“距离之和≥”这个条件列出只含有和的不等式变形为“”的不等式然后再解之1222221222222224221,(1)[]lbxayab0,a1,1,0l1,0l4e25e250.e5,.(1),22424,,52.55512,5542e1,eexyabbadabbadabababsddcababsccacaccee解直线的方程为解由得点到直线的距离同理可得点到直线的距离又得即于是得即≤解之得≤又的范围≥是≥≥≥≤,5.222[],,,a,b,c,cab.cea反思感悟双曲线中有关求离心率或离心率范围的问题应找好题中的等量关系或不等关系构造出率心率的关系式这里应和椭圆中的关系区分好即类型四直线与双曲线的位置关系解题准备:与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题,常采用解方程组的思想方法,转化为判别式进行;与弦长有关的问题,常常利用韦达定理,以整体代入的方法求解,这样可以避免求交点,使运算过程得到简化.2121212224Cy1,CC,CC.1C;2CAB,(O),k422.xlykxOAOB【典例】已知椭圆的方程为双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点而的左、右顶点分别是的左、右焦点求双曲线的方程若直线与双曲线恒有两个不同的交点和且其中为原点求的取值范围：222222222222222222[]1Ca413,c4,abc,b1.Cy1.21,321,3(13)6290.xyabxxykxykxkx解设双曲线的方程为则再由得故的方程为将代入得22211221212222222222121212121212lC,kk1Ax,y,B130,(62)36(13)36(1)013629,.13132)(2)372.31x,y,xxxxxxyyxx(kxk1xxxx2kkkkkkkkxkkk由直线与双曲线交于不同的两点得且①设则12122222222,37392.0,313113313331,,1xxyy2,k31,k3OAOBkkkkk又得即解得②由①②得故的取值范围为[反思感悟]在圆锥曲线中经常遇到求范围问题,这类问题在题目中往往没有给出不等关系,需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题,解法通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围,直线与圆锥曲线相交时Δ0等),通过解不等式(组)求得参数的取值范围;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.错源一理解性质不透彻22221(1,,00)2.xyabab