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方法技巧篇之配凑法题型透析真题展示1.(2012重庆)设tan,tan是方程2320xx的两个根,则tan()的值为2.(辽宁卷)已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()A.23B.14C.5D.6命题规律所谓“配凑”指的是利用恒等变形的方法,把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式.它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它.配凑法分类1.利用结构特征进行配凑2.利用数量特征进行配凑3.利用已知定理、公式进行配凑4.引入参数进行配凑5.整体配凑破题技巧配凑法常用技巧1.把结论变形,凑出题设形式,以方便利用已知条件.2.把题设变形,凑出结论形式,以从中推出结论.3.把题设先变形,再把结论变形,凑出变形后的题设形式.题型突破题型一、利用结构特征进行配凑(一)【利用所学知识几何结构特征进行配凑】例1.(2011年广东理)设圆C与两圆22(5)4xy,22(5)4xy中的一个内切,另一个外切,求圆C的圆心轨迹L的方程.【破题技巧】:根据题意找出点满足的条件,联想所学的圆锥曲线的几何定义进行配凑.【通性通法】:仔细观察,恰当配凑.【例题解析】:两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为1(5,0)F、2(5,0)F,由题意得12||2||2RCFCF或21||2||2RCFCF,1212||||||425||CFCFFF,可知圆心C的轨迹是以12,FF为焦点的双曲线,设方程为22221yxab,则22224,2,5,1,1aacbcab,所以轨迹L的方程为2214xy.(二)【利用已知代数特征进行配凑】例2.(2012·东北三校联考)设α、β都是锐角,且cosα=55,sin(α+β)=35,则cosβ=()A.2525B.255C.2525或255D.55或525【破题技巧】:观察等式左右两端的结构特征,从左→右或者从右→左进行类似的配凑.本题是把等式左边变形,凑出等式右边的形式.【通性通法】:观察结构特征,配凑类似相通的特征.【例题解析】:依题意得sinα=1-cos2α=255,cos(α+β)=±1-sin2α+β=±45.又α、β均为锐角,因此0αα+βπ,cosαcos(α+β),因为4555-45,所以cos(α+β)=-45.cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-45×55+35×255=2525,选A.题型二、利用数量特征进行配凑例3.(2013山东高考真题)设正实数,,xyz满足22340xxyyz,则当xyz取得最大值时,212xyz的最大值为【破题技巧】:本题涉及到最值的求解,一般来说是用基本不等式来解决.观察特征,配凑出满足基本不等式的数量关系式本题的关键.【通性通法】:分离分式,得到满足解题所需的数量关系.【例题解析】:由22340xxyyz,得2234zxxyy.所以2214343xyxyzyxxxyyyx11423yxyx,当且仅当4yxyx,即2xy时取等号此时22zy,max()1xyz2122122zxyyxyy2121(1)(1)2yxyy2111224()12yy故最大值为1.题型三、利用已知公式进行配凑例4.已知两个等差数列{},{}nnab,它们的前n项和分别为,nnST,若2331nnSnTn,99ab值.【破题技巧】:我们已知等差数列前n项和公式,题目中也给了我们前n项和的比值关系,那么我们要找项的关系,就是要把项的关系根据已知的公式配凑成n项和的关系.【通性通法】:仔细审题,理清关系,找到配凑途径.【例题解析】:11711799117117911711791717,22()1722()1722217337317150aabbabaaaaabbbbbST题型四、引入参数进行配凑例5.已知,,xyzR,且1xyz,求149xyz的最小值.【破题技巧】:某些复杂的问题难以观察出匹配的系数,但利用“等”与“定”的条件,建立方程组,解地待定系数,可开辟解题捷径.【通性通法】:引入参数,构架桥梁,得出结论.【例题解析】:设0,故有10xyz.1491491149xyzxyzxyzxxxxyz24612.当且仅当149,,,xyzxyz同时成立时取“=”,即123,,xyz,代入1xyz,解得36,此时1236,故149xyz的最小值为36.题型五、整体配凑例6.(安徽高考真题)若函数(),()fxgx分别是R上的奇函数、偶函数,且满足()()xfxgxe,则有()A.(2)(3)(0)ffgB.(0)(3)(2)gffC.(2)(0)(3)fgfD.(0)(2)(3)gff【破题技巧】:由选项的结构特征,要比较大小,最好分别求出分(),()fxgx的解析式.可以考虑用整体配凑中的对称性配凑来解决问题.【通性通法】:根据题干特征,利用函数性质,提炼配凑结构.【例题解析】:由()()xfxgxe①①,且(),()fxgx分别是奇函数、偶函数,可把原等式中的x替换成-x,则()()xfxgxe由函数的奇偶性可知,()()xfxgxe②①②联立,可求出(),()22xxxxeeeegxfx则很容易求出(0),(2),(3)gff的值,易知选D备考指津【高考题型】配凑法多在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等知识点处考察.【技巧归纳】要善于观察、善于反思、善于联想,及时捕捉有关信息,通过配凑向公式过渡、向已知、熟知的内容转化.【复习建议】配凑法是从整体考察,通过恰当的配凑,使问题明了化、简单化.同学们可以把配凑法与换元法和构造法结合在一起进行比较、复习.【备考预测】预计下一年的高考中,配凑法仍然是高考的一个热点,将广泛分布求函数解析式与最值、数列、化简、证明题目中.谢谢您的观看!
本文标题:高考方法技巧篇:配凑法(五)
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