高数2(同济版)复习资料第九章复习题

).0(),(122202adyyxfdxIaxxaxa的累次积分坐标系下的顺序，在把它化为极交换累次积分、aayaaayaaayaaayaDDDdxyxfdydxyxfdydxyxfdydxdyyxfIDDDDaxayaxyaayaaxayxxaxaxyxaxD22220203212222222222222321.),(),(),(),(,.22,2,2.)1(,20,22:，即和为三部分因此，分割域的变化范围积分在直角坐标系下，先对见图。解：累次积分的积分域xyoa2a2a1D2D3D.)sin,cos()sin,cos()sin,cos(sincos2cos2cos2cos2).40(cos2),24(sincos2),20(cos222,2)2(2sincos2cos224cos2cos240222aaaaDDdfddfdddfIDDDaaaaaaaaxaxyxaxyD两部分，即和为因此，分割域，和的变化范围分别为积分，先对的极坐标方程分别为及的边界曲线：在极坐标系下域.10,)1(,1),(,)1()1(22yxyyxyxDydxID其中。计算下列二重积分的值.241)43(21)(212)1()1()1(,10,1110431032101121110yydyyydyxydxxydyydxdyxIyyxyDyxDyyyyD积分的顺序后对先对方法一算。两种不同的积分顺序计的图形（如图），再按解：作出域xyo12D1yx1y2)1(xy化计算。适当的积分次序，以简算二重积分时，应选择然比较简便，所以在计从此例看出，方法一显两部分，即与分成积分的顺序，域后对先对方法二2416181]6)1(2)1([21]4)1(2)1([21])1()1[(21])1()1[(212)1(2)1()1()1()1()1(,21,1)1(:,10,11:21621042215103211)1(2101121)1(211110221212221xxxxdxxxdxxxdxyxdxyxydydxxydydxxydxdyxydxdyxIxyxDxyxDDDDxyxxxxDD.21,1,2),(,)2(222xxyxyyxDdxdyyxID其中.42arctan87)arctan()812()111(8)12()1(1,21,1221212214212232112212221222222xxdxxxdxxxxdxyxdyydxxdxdyyxIxxyxDxyDxxxxD积分次序，后对先对的图形（如图），选择解：作出域2xy12xy1225xoyD.330,91),(,arctan1322xyxyxyxDdxdyxyID其中）（重积分的值。利用极坐标计算下列二.6)2)(2(,36,31:.arctan36313391231236231362222ddddIDxyxyxyyxyxDDD积分区域被积函数，及，，的极坐标方程分别为及，，边界曲线图形（如图）。由于域解：作出域xy13Do3xyxy3).0(0,,),(,)2(2222axayyxaxyxyxDydxdyID其中.24,cos040sin04,sin,cos,sin,cos,212102222aDaDDDDaaaaayyxaxyxDD：，，：，即和部分分成两积分，把域后对择先对选，所以在极坐标系下，解得极角方程组联立的极坐标方程分别为边界曲线图形（如图）。由于域解：作出域xyoaaayyx22axyx22D0).2(3248)4sin812sin23(124cos3)22cos1(3sincos3sin33sin3sinsinsinsinsin33403244340232433404324cos0340sin03cos0224sin024021aaaadadadaddddddddddIaaaaDD.),()cos(422222ayxyxDdxdyyxID的值，其中计算。。可以顺利地求出原函数坐标系下，因均不可积），但在极积分均求不出原函数（还是先对无论先对系下，被积函数解：该积分在直角坐标2020220222sin)sin21(2coscos)cos(),(addddIyxyxyxfaaD的值。计算累次积分xdyyydxI1212sin5.2cos1coscossin2sin2sin,21,2:,21,12sin),(2121221yydydxdyyydxdyyyIyxyDyxDxxyDyyyyxfyD积分，后对先对的图形（如图）。得域的不等式由累次积分域故考虑交换积分顺序。不可积，先对于被积函数解：所给累次积分，由xyo1212xy.438320031cos10381035203232232222dddddyxIdyxdyxyxDDDD简便，由此得显然用极坐标计算比较而第一项积分，称性知，第二项积分解：根据二重积分的对.1),(,)31cos(62222322yxyxDdyxyxyxID其中计算.20,0),(,)cos(7xxyyxDdxdyyxD其中计算，于是和部分分成两将域所以用直线初等函数，由于被积函数是非二元时，当时，，当被积函数值的定义，图形（如图），由绝对解：作出域2122),cos(2)cos()cos(DDDyxyxyxyxyxyxDxy2244o1D2Dxy2yx12)2cos21()2cos21()12(sin)2sin1()(sin)(sin)cos()cos()cos()cos()cos(2440244040242222424021xxyydxxdyydxyxdyyxdyyxdxdxyxdydxdyyxdxdyyxdxdyyxxxyyxxyyDDD).0(),(,)cos(1lim82222022rryxyxDdyxerDyxr其中求利用二重积分的性质，.11)cos(lim)cos(lim),()cos(1lim)cos(1lim0)0,0(),(02202022222222eeeDrerdyxerrrDyxr）（值定理解：应用二重积分的中.])([)()(2]0[)(9200aaxadxxfdyyfdxxfaxf上连续，求证：，在设)(.2,)()(,)()()()(,])([1212012021转下页下面只需证出：见图。和域证明：设IIDDdxdyyfxfIdyyfdxxfdxdyyfxfIdxxfIDaxaDaD1D2aa0xyy=x.])([)()(22)()()()(])()([])()([)()()()(,)()()()()()()()()()(2001100000221000022121aaxaaxaataaataayayaDDDDDaaaadxxfdyyfdxxfIIIdyyfdxxfdyyfdttfdtdxxftfdydxxfyfdxxfdyyfdxdyyfxfIIIdxdyyfxfdxdyyfxfdxdyyfxfdyyfdxxfdxxfdxxfI，即故又量字母无关，有根据积分的值与积分变为连续函数。其中）求（利用三重积分的性质，),,(),0(),,(,),,(1lim101222230zyxfrrzyxzyxdvzyxfrr).0,0,0(34),,(lim34),,(lim34),,(34),,(1lim),,(1lim)0,0,0(),,(033030fffrfrdvzyxfrrrr值定理，有解：利用三重积分的中).0()(1lim,0)0()(11222222240fdxdydzzyxftfuftzyxt证明为连续可微函数，若).0()0()(lim)(lim)(lim)(lim4lim)(1lim.)(4)(sinsin)()(00320402040222400202020222222222222ftftfttfttfttdrrfrtIdxdydzzyxftdrrfrdrrfrddddrdrrfdxdydzzyxfItttttttzyxttttrtzyx故并设证明：选用球面坐标，.,)(,0,,)(2.12222222系下的累次积分化为柱坐标系和球坐标分别试将为连续函数的闭域所围和平面锥面圆柱面为由其中设IufzyxzyyxdvzyxfI9).-8(:图作域的图形解zxy22yxzyyx22(0,0,1)(0,1,0),,,sin,cos(1)dzdddvzzyx作柱面坐标变换0sin002222222222.)()(),0(sin,:,,0,.0,sin0,dzzfdddzddzfIyyxDxOyzzzzzzyxzyyxxy即得投影域上投影向平面把域的变化范围积分选择先对及柱坐标方程分别为的及界面方程则域.)(sinsin)(,2,4,sinsin0,,sin,cos,sinsin,cossin)2(2024sinsin022222222drrfrddddrdrrfIrzyxzyyxddrdrdvrzryrx及方程分别为的球坐标及界面方程则域作球面坐标变换.1,)(31闭域及三个坐标面所围成的是由平面其中计算zyxdxdydzzyxI)1(3333,,,,),,(:101010101010xyxxDyxΩΩΩΩdyyxxdxdzdyxdxdzxdxdyydzxdxdIydzzdxdydzydxdydzxdxdzyxzyxzyxf于是有的对等性关于上积分域在由被积