高数PPT精华汇总

1左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf极限与连续2求极限的常用方法a.连续函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限;f.利用两个重要极限求极限；g.利用等价无穷小替换求极限；h.利用两个准则求极限.3判定极限存在的准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限.(夹逼准则)准则Ⅰ′如果当x(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.),(0xUo注意:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0证明数列极限的例题—例3~例64例6计算例7计算nnnn211lim12432lim22nnn113232limnnnnn例8计算xxysin例1.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx1,,0,1X取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故.)(,)(lim的图形的水平渐近线是函数则直线如果xfycycxfx6例2证明：例3如果则01limnxx10a0limxxa例2).(,lim0为常数证明CCCxx例3.lim00xxxx证明例4.211lim21xxx证明例5.lim,0:000xxxxx时当证明81.设多项式函数，计算。2.设有理分式函数，其中P(x),Q(x)都是多项式函数并且，计算。nnnaxaxaxPL110)()(lim0xPxx)()()(xQxPxR)(lim0xRxx0)(0xQ例1).12111(lim222nnnnn求证明极限lim0npn，p为常数，为任意正实数例2例3求极限2lim!nnn.10例3解求极限2lim!nnn.由于当2n时，有22222240!1234nnnn，因此，由夹逼准则，从上式得2lim0!nnn.11例4.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去).2131limnnx12证21(1)111!2!nnnnxnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnnnnnnnnn1!)1()1(例15证明极限1lim(1)nnn存在.则设,)11(nnnx1311111(1)2!11121(1)(1)(1)!121112(1)(1)(1).(1)!121nxnnnnnnnnnnn,1nnxx显然;是单调递增的nx!1!2111nxn1212111n类似地,141213n,3.是有界的nx1lim(1)ennn因此，极限1lim(1)nnn存在。特记：e2.7182818281516左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类17例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx18例3.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy19意义:1.极限符号可以与函数符号互换;的理论依据。变量代换))((.2xu例11.)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解20例120e1lim.xxx求.1)1ln(lim0yyy原式解e1,xy令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得.ln1lim0axaxx21例131limsine1.xx求1sine1原式sine1.例14.11lim20xxx求解解)11()11)(11(lim2220xxxxx原式11lim20xxx20.022思考题下述命题是否正确？如果)(xf在],[ba上有定义，在),(ba内连续，且0)()(bfaf，那么)(xf在),(ba内必有零点.23思考题解答不正确.例函数0,210,e)(xxxf)(xf在)1,0(内连续,.0e2)1()0(ff但)(xf在)1,0(内无零点.24一、证明方程bxaxsin，其中0,0ba，至少有一个正根，并且它不超过ba.二、若)(xf在],[ba上连续，bxxxan21则在],[1nxx上必有nxfxfxffn)()()()(,21使.三、设)(xf在],[ba上连续，bdca,试证：对任意正数qp和至少有一点],[dc,使)()()()(fqpdqfcpf.课堂练习题25思考题设xxfsgn)(，21)(xxg，试研究复合函数)]([xgf与)]([xfg的连续性.26思考题解答21)(xxg)1sgn()]([2xxgf12sgn1)]([xxfg0,10,2xx在),(上处处连续)]([xgf在)0,(),0(上处处连续)]([xfg0x是它的可去间断点.0,10,00,1)(xxxxf27一、填空题：1、43lim20xxx__________；2、xxx24tancos22lim___________；课堂练习题3、函数61)(24xxxxxf的连续区间为_________；4、设时当时当1,11,2cos)(xxxxxf确定)(lim21xfx__________;)(lim23xfx___________.28二、设0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知)(xf在0x处连续，试确定a和b的值.三、设函数)(xf在0x处连续，且0)0(f,已知)()(xfxg，试证函数)(xg在0x处也连续.29例1.)sin1tan1(lim310xxxx求.)](1lim[)()(lim)(xfxgxgxfe例2).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多项式设例3讨论函数的连续性.1,1()πcos,12xxfxxx30例4).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设例6讨论函数xxxxf2sin11arctan)(的连续性，并判断其间断点的类型.例5证明奇次多项式：1221120)(nnnaxaxaxP)0(0a至少存在一个实根.31例7设有函数1,1)1(1,sin)(xxaxaxxf试确定a的值使)(xf在1x连续.32求导法则基本公式导数xyx0lim微分xydy关系)(xodyydxydyydxdy高阶导数导数与微分33基本导数公式222()0(sin)cos(tan)sec(sec)sectan()ln1(log)ln1(arcsin)11(arctan)1xxaCxxxxxxxaaaxxaxxxx（常数和基本初等函数的导数公式）1222()(cos)sin(cot)csc(csc)csctan(e)e1(ln)1(arccos)11(arccot)1xxxxxxxxxxxxxxxxx34★2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.★35例14.)2(21ln32的导数求函数xxxy例15.e1sin的导数求函数xy363反函数的导数定理3.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有内也单调、可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.37例16.arcsin的导数求函数xy解,0cos)(sinyy且内有在)1,1(x1(sin)yycos1y2sin11.112x.11)(arccos2xx同理可得;11)(arctan2xx)(arcsinx.11)cot(2xxarc因为sinxy在ππ()22y，内单调、可导，38例17.log的导数求函数xya,0ln)(aaayy且,),0(内有在x)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解,),(内单调、可导在yaxy特别地.1)(lnxx39(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu40例18.的导数求函数xxxy例19求函数[(sin)]nnnyfx的导数.41例20.dddd0ee0xyxxyxyyxy和的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0ddeeddxyxyxyyx解得,eeddyxxyxy,0,0yx由原方程知000eeddyxyxxxyxy.142例26.,)23,23(,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.43例27解]142)1(3111[e)4(1)1(23xxxxxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(