高数一全面复习总汇

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctanlim)21ln(arctanlim3030xxxxxxxx（等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim0)(6sinlimxxfxxxfxxx，求解：20303')(6cos6lim)(6sinlimxxyxfxxxxfxxx72)0(''06)0(''32166'''''36cos216lim6'''26sin36lim00yyxyyxxxyyxxx362722''lim2'lim)(6lim0020yxyxxfxxx（洛必达）3.121)12(limxxxxx（重要极限）4.已知a、b为正常数，xxxxba30)2(lim求解：令]2ln)[ln(3ln,)2(3xxxxxbaxtbat2/300)()ln(23)lnln(3limlnlimabtabbbaabatxxxxxx（变量替换）5.)1ln(102)(coslimxxx解：令)ln(cos)1ln(1ln,)(cos2)1ln(12xxtxtx2/100212tanlimlnlimetxxtxx（变量替换）6.设)('xf连续，0)0(',0)0(ff，求1)()(lim02002xxxdttfxdttf（洛必达与微积分性质）7.已知0,0,)ln(cos)(2xaxxxxf在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(coslim20xxax（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.3cos11lim0xxxexx（洛必达）2.)1sin1(lim0xxctgxx（洛必达或Taylor）3.11lim2200xxtxedtex（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.52arctan)(2tetyytxxyy由决定，求dxdy2.xyxyxxyysin)ln()(32由决定，求1|0xdxdy解：两边微分得x=0时yxyycos'，将x=0代入等式得y=13.yxxyyxy2)(由决定，则dxdyx)12(ln|0B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/ee（），在（处切线的直角坐标方程。解：1|'),,0(|),(,sincos2/2/2/yeyxeyexxey2/5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求)1('),1()6('),6(ffff或，等式取x-0的极限有：f(1)=0)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([limsin)sin1(3)sin1(lim0sin0xyfftftftftfxxfxfttxxC.导数应用问题6.已知xexfxxxfxxfy1)]('[2)('')(2满足对一切，)0(0)('00xxf若，求),(00yx点的性质。解：令0,00,0)(''00010000xxxeexfxxxx代入，，故为极小值点。7.23)1(xxy，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域),1()1,(x：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''300'xyxxyxxy8.求函数xexyarctan2/)1(的单调性与极值、渐进线。解：101'arctan2/22xxexxxyx与驻点，2)2(xyxey与渐：D.幂级数展开问题9.xxdttxdxd022sin)sin(xnnnnxnnnnxnxxxdttxdxdnnxxxtxnntxtxtxdttxntxtxtxtx02)12(2622147302141732)12(2622sin)!12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!12()()1()(!31)()sin(或：20202sinsin)(sinxduudxdduudxdutxxx10.求)0(0)1ln()()(2nfnxxxxf阶导数处的在解：)(2)1(32()1ln(2213222nnnxonxxxxxxx=)(2)1(321543nnnxonxxxx2!)1()0(1)(nnfnnE.不等式的证明11.设)1,0(x，211)1ln(112ln1)1(ln)122xxxxx，求证（证：1）令0)0(,)1(ln)1()(22gxxxxg；得证。单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)1()1ln(2)('''),(''),('2xgxgxgxgxgxgxggxxxgxgxg2）令单调下降，得证。,0)('),1,0(,1)1ln(1)(xhxxxxhF.中值定理问题12.设函数]11[)(，在xf具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(ff，0)0('f，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''f，使证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(xfxfxffxf其中]1,1[),,0(xx将x=1，x=-1代入有)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ffffffff两式相减：6)(''')('''21ff3)](''')('''[21)('''][2121fff，，13.2ebae，求证：)(4lnln222abeab证：)(')()(:fabafbfLagrange令ln2lnln,ln)(222ababxxf令2222ln)()(0ln1)(',ln)(eetttttt)(4lnln222abeab（关键：构造函数）三、补充习题（作业）1.23)0('',11ln)(2yxxxf求2.曲线012)1,0(2cos2sinxyteytextt处切线为在3.exyxxexy1)0)(1ln(的渐进线方程为4.证明x0时22)1(ln)1(xxx证：令3222)1(2)('''),(''),(',)1(ln)1()(xxxgxgxgxxxxg02)1(''0)1(')1(ggg，00'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(ggxgxgggxggx第三讲不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.Cxxdxxxdx22arcsin)2(4)4(22.Cxexdxexdxedxxexxxxtantan2sec)1(tan2222223.设xxxf)1ln()(ln，求dxxf)(解：dxeedxxfxx)1ln()(Ceexdxeeeexxxxxx)1ln()1()11()1ln(4.112122ln214)11(lim|arctan1arctanbbdxxxxxxdxxxB.积分性质5.)(xf连续，10)()(dtxtfx,且Axxfx)(lim0，求)(x并讨论)('x在0x的连续性。解：xdyyfxxtyfx0)()(,0)0()0()0('2/)0('lim2)0(')()()('020AAxdyyfxxfxxx6.xxxtdtxfdxddttxtfdxd02222022)()(2)()()()(2202xxfydyfdxdxC.积分的应用7.设)(xf在[0，1]连续，在（0，1）上0)(xf，且223)()('xaxfxxf，又)(xf与x=1,y=0所围面积S=2。求)(xf，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：10242)(23)(23))((acdxxfcxxaxfaxxfdxd102250)'(')14(23)(adxyVxxaxf8.曲线1xy，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。解：切线2/xy绕x轴旋转的表面积为5220yds曲线1xy绕x轴旋转的表面积为)155(6221yds总表面积为)1511(6三、补充习题（作业）1.Cxxxxdxxxcot2sinlncotsinsinln22.dxxxx136523.dxxxarcsin第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.)(xf有二阶连续偏导，)sin(yefzx满足zezzxyyxx2''''，求)(xf解：uuececufff21)(0''2.yxzyxyxyfxz2)()(1，求3.决定由0),,()