高数上期末试题及答案

1高等数学期末及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim20xxx。2、当k时，00e)(2xkxxxfx在0x处连续．3、设xxyln,则______dydx4、曲线xeyx在点（0，1）处的切线方程是5、若Cxdxxf2sin)(，C为常数，则)(xf。二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数xxxf)(，则)(lim0xfx（）A、0B、1C、1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（）A.)0(1lnxxB.)1(lnxxC.)0(cosxxD.)2(422xxx3、满足方程0)(xf的x是函数)(xfy的（）．A．极大值点B．极小值点C．驻点D．间断点4、下列无穷积分收敛的是（）A、0sinxdxB、dxex02C、dxx01D、dxx015、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则AMB=2A、3B、4C、2D、三、计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限xxx2sin24lim0。2、求极限)111(lim0xxex3、求极限2cos102limxdtextx4、设)1ln(25xxey，求y5、设)(xyf由已知tytxarctan)1ln(2，求22dxyd6、求不定积分dxxx)32sin(127、求不定积分xxexdcos8、设011011)(xxxexfx，求20d)1(xxf四、应用题（本题7分）求曲线2xy与2yx所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。五、证明题（本题7分）若)(xf在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(ff，1)21(f，证明：在(0,1)内至少有一点，使1)(f。3参考答案一。填空题（每小题3分，本题共15分）1、6e2、k=1．3、xx14、1y5、xxf2cos2)(二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．计算题（本题共56分，每小题7分）1.解：xxx2sin24lim081)24(2sin2lim21)24(2sinlim00xxxxxxxx7分2.解：21lim11lim)1(1lim)111(lim0000xxxxxxxxxxxxxxxeeeexeeeexxeex7分3、解：2cos102limxdtextxexxexx212sinlim2cos04、解：)111(1122xxxy…………………………...4分211x…………………………………………...7分5、解：ttttdxdy21121122（4分）222232112()241dytddydxtdttdtdxdxtt（7分）6、解：Cxdxdxxx)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12（7分）7、解：xxexxxedcosdcos4sinxdxecosxxexxdesincosxxexdxcossincosxexexexxxCxxex)cos(sin8、解：01101120d)(d)(d)(d)1(xxfxxfxxfxxf10011d1dxxexx1001)1ln(d)11(xxeexx2ln)1ln(101xe)1ln()1ln(11ee四．应用题（本题7分）解：曲线2xy与2yx的交点为（1，1），于是曲线2xy与2yx所围成图形的面积A为31]3132[)(10210232xxdxxxAA绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：10352)(10521042yydyyyV五、证明题（本题7分）证明：设xxfxF)()(，2分显然)(xF在]1,21[上连续，在)1,21(内可导，且021)21(F，01)1(F.5零点定理知存在]1,21[1x，使0)(1xF.4分由0)0(F，在],0[1x上应用罗尔定理知，至少存在一点)1,0(),0(1x使01)()(fF，即1)(f……7分2006-2007第一学期高数试题一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1）函数211arcsin3xfxxx的定义域为240xx或。2）201cos3limxxx92。3）设xeyx，则y1lnxeex。4）设220xyaax，dy22222axdxax。5）若220,dxaaxarcsinxCa。二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1）极限2451lim23xxxx（D）A、2B、2C、2D、不存在2）下列函数fx在1,1上适合罗尔中值定理条件的是（B）A、32fxxB、2fxxxC、arccosfxxD、cot2xfx3）下列函数中，哪一个不是sin2x的原函数（C）A、2sinxB、2cosxC、cos2xD、225sin4cosxx4）设22222111ln,ln,1PxdxQxdxRxdx，则下列不等式正确的是（D）A、PQRB、QRP6C、RQPD、QPR5）设fx在,ab上连续，则badxfxdxdx（A）A、bafxdxB、bfbafaC、baxfbfafxdxD、bafxdxxfx三、计算下列各题（共4题，每小题6分，共24分）1）计算极限sincos30limxxxxeex解：原式sincoscos3320001sincossin1limlimlim33xxxxxxxxexxxxxexxx2）设参数方程22lnsin1sin1sinxttyt，求22dydx解：222sincos21sinsin1cos1sinttdyttdxtt，2222cos1sin1cos1sindyttdxtt。3）计算不定积分12ln11xxdxxx解：原式3222211212lnln111111xxxxxxxdxxdxxxxxxx2212222ln1111xxxxdxxxxx2131ln2111xxxdxxxx221ln3ln1ln11xxxxxCx四、解答下列各题（共2题，每小题7分，共14分）1）在曲线21yx上求一点M，使它到点05,0M的距离最小。解：设曲线21yx上一点坐标为2,1aa，它到点05,0M的距离的平方为722251faaa，我们只须在,求fa得最小值2322541461014410faaaaaaaaa当1a时，0fa，此时，fa取最小值。所求点为1,22）设由cos,0,0yxyx在第一象限围成的图形为D，其面积为0S。又曲线sin0yaxa将D分为左右两部分12,DD，其面积分别为12,SS，求a的值使12:2:1SS。解：22000cossin1Sxdxx又因为1201SSS，12:2:1SS所以1221,33SSarccot102cossin3aSxaxdxcot0sincossincotcoscotarcaxaxarcaaarcaa22221511211aaaaaaa五、（本题8分）设131xbxbfxxax有无穷间断点10x，有可去间断点21x，求,ab之值。解：因为10x是无穷间断点，所以0x时，fx，因此0a，0,1bb又因为21x是可去间断点，而1x时，10xax，所以，当1x时，有130xbxb，因此2b。六、（本题9分）设21020xexfxxx，讨论,fxfx在0x处的连续性。解：因为2001limlim20xxxefxfx，所以fx在0x处的连续。cosyxsinyaxcotarcaxy82222000012012220limlimlimlim22hhhhhhhefhfehehfhhhh22221020xxxeexfxxx，又因为2220021limlim2xxxxxeefxx，所以fx在0x处连续。（本题10分）设fx在,ab内连续，可导且fx单调增，0,xab00000fxfxxxxxxfxxx试证明：x在,ab内也单调增。证明：因为000000limlimxxfxfxxfxxxx，所以x在0xx处连续。当0xx时，0020fxxxfxfxxxx在以0,xx为端点的闭区间上对函数x运用拉格朗日中值定理，至少存在0,xx之间的一点使得0000fxfxffxfxfxxxx当0xx时，0fxfxxx，当0,xax时，fxf，即0x；当0,xxb时，fxf，即0x，又因为x在0xx处连续。所以x在,ab内也单调增。一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）210)(coslimxxx=_____e1________.（2）曲线xxyln上与直线01yx平行的切线方程为___1xy______.（3）已知xxxeef)(，且0)1(f,则)(xf______)(xf2)(ln21x_____.（4）曲线132xxy的斜渐近线方程为_________.9131xy（5）微分方程522(1)1yyxx的通解为_________.)1()1(32227xCxy二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（D）9(A)0111dxx(B)21112dxx(C)141dxx(D)11dxx（2）函数)(xf在],[ba内有定义，其导数)('xf的图形如图1-1所示，则（D）.(A)21,xx都是极值点.(B))(,,)(,2211xfxxfx都是拐点.(C)1x是极值点.，)(,22xfx是拐点.(D))(,11xfx是拐点，2x是极值点.图1-1（3）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（D）.（A）23e.xyyyx（B）23e.xyyy（C）23e.xyyyx（D）23e.xyyy（4）设)(xf在0x处可导，则000limhfxfxhh为（A）.(A)0fx.(B)0fx.(C)0.(D)不存在.（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(())().