高数下9.3三重积分及其计算

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义.§9.3三重积分及其计算一、三重积分的概念三重积分的物理背景以(x,y,z)为体密度函数的空间物体的质量.首先,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和niiiiiv1),,(如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为空间物体的质量M,即.),,(lim10niiiiivM当然,在三维空间定义的函数u=f(x,y,z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”,我们可以想象,但无论如何也无法画出其“图形”,因此我们不再讨论其几何意义.下面我们给出三重积分的定义:,),,(dvzyxf定义:设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域niiiiivf1),,(niiiiivf10),,(lim上的三重积分,并记为即dvzyxf),,(其中dv称为体积元素,其它术语与二重积分相同.同样有:闭区域上的连续函数一定可积.在直角坐标系中,如果我们用三族(平行于坐标的)平面x=常数,y=常数,z=常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体.其体积元素为:dv=dxdydz.三重积分可写成:由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质,不再叙述.dxdydzzyxfdvzyxf),,(),,(二、三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似,三重积分可化成三次积行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.zyxoxyD(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)①先单后重:设闭区域在xoy面的投影为闭区域Dxy.在闭区域Dxy内任取一点(x,y),作垂直于xoy面的直线穿过闭区域.穿入时的下边界曲面方程:z=z1(x,y)穿出时的上边界曲面方程:z=z2(x,y)),(),(21),,(),(yxzyxzdzzyxfyxF先将x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函数,则积分为闭区域Dxy上的函数,可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.zyxoxyD(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)y=y1(x)y=y2(x)ab由三重积分的物理意义,若将f(x,y,z)理解为闭区域上的体密度函数,那么三重积分表示空间物体的质量M.则函数F(x,y)可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.dvzyxf),,(.]),,([),(),(21xyDyxzyxzddzzyxfxyDdyxFM),(则质量M等于F(x,y)在平面薄片Dxy上二重积分:dvzyxf),,(即.]),,([),(),(21xyDyxzyxzddzzyxf下面只需将二重积分化成二次积分:不妨设Dxy为X—区域:y1(x)yy1(x),axb..),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf),,(则此方法也称为先一后二,或切条法(先z次y后x,或先z次x后y)注意:这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面相交不多于两点情形.用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.化三重积分为三次积分的步骤:⑴投影:得平面区域;⑵穿越法定限:穿入点—下限,穿出点—上限.对于二重积分化为累次积分的方法,已经介绍过.oxyzDxydvzyxf),,(例1:将三重积分化成三次积分,其中为长方体,各边界面平行于坐标面.解:将投影到xoy面得Dxy,它是一个矩形:cyd,axb,在Dxy内任取一点(x,y)作平行于z轴的直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为l和m(lm).abcd(x,y)mldvzyxf),,(xyDmlddzzyxf]),,([.),,(mldcbadzzyxfdydx例2:计算,xdxdydz平面x+y+z=1所围成的区域.Dxyxyzo其中是三个坐标面与解:画出在xoy面上的投影区域Dxy:0y1–x,0x1,平行于z轴直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=1–x–y,有0z1–x–y.x+y+z=1x+y=1xdxdydzyxxxdzdydx101010xdyyxxdx1010)1(.241102)1(21dxxx解:画出积分区域的草图.其中积分区域为由曲面z=x2+y2,y=x2,y=1,z=0所围成的空间闭区域.dvzyxfI),,(例3:化三重积分为三次积分,dvzyxfI),,(在xoy面上的投影区域Dxy:x2y1,–1x1,平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0zx2+y2.1101222),,(yxxdzzyxfdydx2201010),,(yxdzzyxfdydx例4:将三次积分化为按y,z,x的次序积分.00.250.50.75100.250.50.75100.511.5200.250.50.75100.250.50.75100.511.5200.250.50.75100.250.50.75100.511.5200.250.50.75100.250.50.75100.511.52解:由所给积分次序可得:0zx2+y2,0y1,0x1.即在xoy面上得投影为方形区域,0y1,0x1.平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0zx2+y2.由题意要求,需要先对y积分,则应作平行于y轴的直线穿过,为此,需作一母线平行于y轴的柱面z=x2,将积分区域分为两部分(见图)1,2.00.250.50.75100.250.50.75100.511.5200.250.50.75100.250.50.75100.511.521,2在xoz面上的投影区域D1,D2分别为:D1:0zx2,0x1;D2:x2zx2+1,0x1.1D2Dxoz关于y的变化范围:在D1上:0y1;在D2上:.12yxz10100),,(2dyzyxfdzdxx.),,(1101222xzxxdyzyxfdzdx2201010),,(yxdzzyxfdydx所以,除了上面介绍的先单后重法(切条法)外,利用先重后单法或称截面法也可将三重积分化成三次积分.先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分.②先重后单:D(z)xyzoc1c2设积分区域介于两平行平面z=c1,z=c2(c1c2)之间,用任一平行且介于此两平面的平面去截,得区域D(z),c1zc2.dvzyxf),,(.),,()(21zDccdxdyzyxfdz则易见,若二重积分容易计算时,特别是被积函数f(x,y,z)与x,y无关时,则二重积分的结果就是D(z)的面积,因此,用截面法较为方便.,)(21ccdzzF即得三重积分值.(4)最后计算单积分,),,()(zDdxdyzyxf(3)计算二重积分的函数F(z);其结果为z截面法的一般步骤:(1)把积分区域向某轴(例如z轴)投影,得投影区间[c1,c2];(2)对z[c1,c2]用过z轴且平行xoy面的平面去截,得截面D(z);.1:,2222222czbyaxdvz例5:计算,1:)(222222czbyaxzD解:易见介于z=–c和z=c之间,而.1)1()1(:)(22222222czbyczaxzDzyxo或故)(22zDccdxdydzzdvzcdzczzab0222)1(2ccdzczzab)1(222.1543abc.1,:,22zyxzdxdydz)(10zDdxdydzdxdydz.210zdz122yxDdzdxdydxdydzxy例6:计算解一:先重后单.介于z=0和z=1之间,D(z):x2+y2z.解二:先单后重.将投影到xoy面得投影区域:Dxy:x2+y21.平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=x2+y2,上曲面为z=1,因此有x2+y2z1.1020)1(42rdrrdxyDdxdyyx)1(22.2(用极坐标,用对称性)所以,所以,此例介绍的是一种计算三重积分的方法,这种方法也具有一定的普遍性,这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法.三、小结三重积分的定义;在直角坐标系下的体积元素:dv=dxdydz;三重积分的计算:用切条法或截面法将三重积分化为三次积分.思考题:;),,()(201222xxdzzyxfdydxA;),,()(202212xxdzzyxfdydxB;),,()(201222xxdzzyxfdydxC.),,()(202212xxdzzyxfdydxD.),,(dvzyxf为六个平面x=0,x=2,y=1,x+2y=4,z=x,z=2围成的区域,f(x,y,z)在上连续,则累次积分________(D)x=0x=2y=1x+2y=4zzryrxsincosr),(rPxyzo),,(zyxM四、在柱坐标系下的计算法设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三个数r,,z就叫点M的柱面坐标.规定:0r+,02,–z+.直角坐标与柱面坐标的变换公式:三重积分在柱坐标系和球坐标系下的计算zx0yzMrSzr=常数圆柱面z=常数垂直z轴的平面动点M(r,,z)柱面坐标系的坐标面zx0yzMrSPr=常数圆柱面z=常数垂直z轴的平面动点M(r,,z)柱面坐标系的坐标面=常数过z轴的半平面xzy0rdz平面z柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;xzy0rdz底面积:rdrddz平面z+dz.柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;xzy0rdz底面积:rdrddz.dv柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;所以:dv=rdrddz.dvzyxf),,(.),sin,cos(dzrdrdzrrf所以然后再把它化为三次积分来计算.积分次序一般是先z次r后.积分限是根据z,r,在积分区域中的变化范围来确定.解:积分区域为一圆锥面与平面z=1围成.将积分区域投影到xoy面得Dxy:x2+y21..1:,)(22222zyxdvzyx1221020222)()(rrdzzrdrddvzyx例1:计算三重积分:圆锥面22yxz柱面坐标方程为z=r.则积分限为:02,0r1,rz1..103