3.2.[1]-柯西积分公式

第三节柯西积分公式及其推论问题的提出0,.DzD设为一单连通域为中一点,d)(0Czzzzf一般不为零所以00()(),.fzfzDzzz如果在内解析那末在不解析根据复围线积分性质知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,0.CDz为内围绕的闭曲线,,00zzzC的正向圆周半径为很小的为中心取作以积分曲线,)(的连续性由zf,)(0处的值接近于它在圆心的缩小而逐渐的值将随着上函数在zzfC)(.d)(d)(000缩小将接近于CCzzzzfzzzzfCzzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC一、柯西积分公式1定理3.1,(),=D+C,DCfzDD设区域的边界是周线或复周线在内解析在上连续则D.zC证明1()(),()2CffzdzDiz这就是柯西积分公式.zD对()()fFz设DzCKNoImage(),FDz则在内除外解析NoImage,KD使及其内部全含于内,CK对复周线由定理有()()CKffddzz(),fzD因为在连续0,所以对只要充分小,就有()(),()2ffzK()dCfz而()dKfz()dKfzz()()dKffzz2()ifz()()dKffzz()()dKffzzDzCKNoImage()d2()Cfifzz故()()dKffzsz.2Kds0()limd2()Kfifzz故根据复周线积分定理,上面积分值与无关()d2()Cfifzz即柯西积分公式2定义3.1在定理3.1条件下1()d,()2CfzCiz称为柯西积分.关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)Cauchy积分公式也可写成()d2()(),(3.15)CfzzifaaDza,aD但若则()d0.Cfzzza推论1如果C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为2π000(e)1()ed2πeiiifzRfziRiRqqqq2π001(e)d2πifzRqq0Reifz------一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论2设f(z)在二连域D内解析，在边界上连续，则100012CCfzfzfzdzdzizzzz0.zDD0zC1C三、典型例题例1解44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求下列积分4dsin21(1)zzzzi,sin)(在复平面内解析因为zzf,40内位于zz4.d3211)2(zzzz44d32d11zzzzzz2212ii.6i4dsin21zzzzi;0由柯西积分公式0sin221zzii例22.d1zzzze计算积分解,)(在复平面内解析因为zezf,21内位于zz由柯西积分公式122d1zzzzeizze.2ie例3.d)1(1212izzzz计算积分解)1(12zz))((1izizzizizz)(1)(zf,21)(内解析在因为izzf,0iz由柯西积分公式212d)1(1izzzz21d)(1izzizizzizizzi)(122212ii.i例４解).1(,d173)(,3222ifzzfyxCC求表示正向圆周设根据柯西积分公式知,,内时在当Czzizf)173(π2)(2),173(22zzi),76(2)(zizf故,1内在而Ci).136(2)1(iif所以例5;211(1):,d14sin2zCzzzC其中计算积分解2112d14sin)1(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i例5;211(2):,d14sin2zCzzzC其中计算积分2112d14sin)2(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i解22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理,得例5.2(3):,d14sin2zCzzzC其中计算积分解22d14sinzzzz2112d14sinzzzz2112d14πsinzzzzii2222.2i例6.πd)cos(sin,dπ0cos1qqqezzezz并证明求积分解根据柯西积分公式知,1dzzzze02zzei;2i)ππ(,qqirez令,1rz1dzzzzeqqqqdππiireirereeiqqdππieeiqqqdsincosππieiππcosπ0cosd)sin(sind)cos(sin2qqqqqqeeiqqdππieei,π2d1izzezz因为ππcosπ0cosd)sin(sind)cos(sin2qqqqqqeei1dzzzze比较两式得.πd)cos(sinπ0cosqqqe例7(),0,fzzRazR设在闭圆上解析如果存在使当时()fza而且(0)fa,,().zRfz试证在圆内至少有一个零点证明()fzzR若在内无零点,1(),()FzzRfz从而在内解析,()0,zRfza由于当时xyo()fza由平均值公式2π01(0)()d.2πiFFRe1(0)(0)Ff1,a1(Re)(Re)iiFf1,a从而1(0)Fa2π01()d2πiFRe2π01()d2πiFRe1122πa因为1,a矛盾课堂练习.d)1(32zzzzze计算积分答案1,1,0zzz有三个奇点).2(d)1(132eeizzzezz四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.Czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式:思考题柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?思考题答案可以.,)(要做一些限制但对函数zf,)(上解析及边界在设CGzf))(,,0,0()(,zfRzRzfz时使当即一致趋于零时并且当,内任意一点则对G,d)(π21)(Czzzfif有其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.