1 命题

2020/2/14四种命题及其关系常用逻辑用语“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若x2=1,则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等;(6)3能被2整除.以上均为陈述句,(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.例1判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数，则a是奇数;(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x15.(7)祝大家新年快乐！222真命题真命题假命题假命题判断一个语句是不是命题，关键判断：（1）是否为陈述句；（2）能否判断真假。例1判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数，则a是奇数;(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x15.222上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.在数学中，这种形式的命题是常见的.“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.例2指出下列命题中的条件p和结论q;(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但可以改写成“若p,则q”的形式,例如:垂直于同一条直线的两个平面平行.解：(1)条件p:整数a能被2整除,结论q：整数a是偶数;(2)条件p:四边形是菱形,结论q：四边形的对角线互相垂直且平分.若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.例3将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假;(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数;(3)对顶角相等;(4)等腰三角形两腰的中线相等;(5)偶函数的图像关于y轴对称;(6)垂直于同一个平面的两个平面平行.下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;命题(1)和(2)叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为“若q,则p”.原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢?命题(1)和(3)叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题.如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若┓p,则┓q”.原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢?命题(1)和(4)叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题.如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为“若┓q,则┓p”.原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢?原命题：逆命题：一、四种命题形式：否命题：逆否命题：若p则q.若q则p.若¬p则¬q.若¬q则¬p.4123xAxABABCabAB例、写出下列原命题的其他三种命题，并判断真假。（）若，则（）在中，若，则（）正偶数不是质数1xABxA解：（）逆命题：若，则xAxAB否命题：若，则xABxA逆否命题：若，则42ABCabAB例、写出下列原命题的其他三种命题（）在中，若，则ABCABab（2）逆命题：在中，若，则ABCabAB否命题：在中，若，则ABCABab逆否命题：在中，若，则43例、写出下列原命题的其他三种命题（）正偶数不是质数解：（3）原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数点拨：要正确表示四种命题首先把条件和结论显化四种命题之间真假关系：1.原命题与它的逆命题和否命题的真假性没有关系.2.原命题与它的逆否命题的真假性相同.20,0mxxm例5、写出下列原命题的其他三种命题（4）若则方程无实数根。20,0xxmm解：（4）逆命题：若方程无实数根则。20,0mxxm否命题：若则方程有实数根。20,0xxmm逆否命题：若方程有实数根则。二、四种命题间的相互关系：原命题若p则q逆命题若q则p否命题若¬p则¬q逆否命题若¬q则¬p互逆互逆互否互否说明：四种命题的关系相对的2212352,,3xyxyxyNxyxyabacbc例6、写出下列原命题的其他三种命题，并判断真假（）若＝且，则（）设，若是偶数，则都是偶数（）若，则000yxyx或，则变形：若点拨：正难则反，看逆否命题正面叙述的词语及其否定正面词语等于大于＞小于＜是都是否定不等于不大于不小于不是不都是至多有一个至少有一个任意的所有的至少有两个一个也没有存在某些或且☆用反证法证明命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.☆理论根据：原命题与其逆否命题的等价性.三、反证法例7证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分..OPABCD已知：在⊙O中，弦AB、CD相交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分证明：假设弦AB、CD被P平分，则P是AB、CD的中点，连接OP，由垂径定理的推论，可得：OP⊥AB，OP⊥CD.这与“在平面上过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.∴弦AB、CD不被P平分.想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即：原命题与逆否命题的真假是等价的。逆命题与否命题的真假是等价的。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。总结：练一练1.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）2.四种命题真假的个数可能为（）个。答：0个、2个、4个。如：原命题：若A∪B=A,则A∩B=φ。逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）课堂小结让我想一想原命题：逆命题：否命题：逆否命题：若p则q.若q则p.若¬p则¬q.若¬q则¬p.3、四种命题形式：1、命题的概念2、能指出命题的条件和结论