高三一轮复习：圆与方程复习课

课题：圆的方程xyooxy定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）。圆的定义注意两个要素：圆心，半径圆的方程标准方程：一般方程：参数方程：)(sincos为参数rbyrax222)()(rbyax022FEyDxyx)04(22FED直径方程：以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径0))(())((2121yyyyxxxx基础练习1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是.223a2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是..41,3.方程对应的曲线是（）24yxA点与圆的位置关系222)()(rbyax点在圆上：点在圆内：点在圆外：22020)()(rbyax22020)()(rbyax22020)()(rbyax),(00yxP3,31,2基础练习4、过点A（a，a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是.直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法直线与圆的位置关系(1)代数法：利用判别式△=b2-4ac000相交相切相离(2)几何法：利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系相离相切相交rdrdrd直线与圆的位置关系圆的切线方程若圆的方程为x2+y2=r2，点P(x0,y0)在圆上，则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为x0x+y0y=r2圆的切线长度：点到圆心的距离、切线长度和半径构成的直角三角形。若P(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点，PM1、PM2分别切圆于M1、M2，则直线M1M2的方程为.x0x+y0y=r2圆的切点弦方程xyoPM1M2直线与圆相交的弦长计算rOd(1)几何法：解由弦心距、半弦及半径构成的直角三角形；(2)代数法：运用弦长公式，其中k为直线的斜率，x1,x2为直线与圆的两个交点的横坐标.2212))(1(xxkl直线与圆相离圆与直线相离，常利用圆心到直线的距离d去确定圆上的点到直线距离的最大值(d+r)、最小值(d-r)lo特殊的圆圆过原点：圆与x轴相切：圆与y轴相切：x2+y2+Dx+Ey=0(x-a)2+(y-b)2=|b|2(x-a)2+(y-b)2=|a|2(x-a)2+(y-b)2=r2a2+b2=r2r=|b|r=|a|2基础练习5、圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有个。3变式练习：圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+my+1=0的距离为的点共有3个，则m的值为。21或-1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可分为五种：相离，外切，相交，内切，内含(两圆的公切线条数也可分为五种)并掌握圆的公切线长度的求法。设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2(r1≠r2)则判断圆与圆的位置关系1212121212121212121212||||||||||||||||OOrrOOrrrrOOrrOOrrOOrr相离外切相交内切内含常用几何法：两圆公共弦方程011122FyExDyx022222FyExDyx公共弦方程0)()()(212121FFyEExDDxyo011122FyExDyx022222FyExDyx圆系方程2222111222()0(1)xyDxEyFxyDxEyF过两圆的交点的圆的方程：022FEyDxyx0cbyax过直线与圆的交点的圆的方程：22()0xyDxEyFaxbyc圆系方程例1根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．题型一：求圆的方程(1)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0(2)x2+y2-2x+8y+9=0练习：求下列圆的方程（1）经过A(2,-3),B(-2,-5)两点，圆心在x-2y-3=0上；（2）与y轴相切，被直线y=x截得的弦长为，圆心在x-3y=0上；（3）过A(-1,5)、B(-2，-2)、C(5,5)的圆；（4）过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的交点且过点(1,2)的圆的方程；（5）以相交两圆C1:x2+y2+4x+y+1=0和C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆。7222(1)(2)10xy2222(3)(1)3(3)(1)3xyxy或2242200xyxy2255022xyx22364555xy例2已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求x－y的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值。(1)x－y的最大值为2＋6，最小值为2－6.(2)x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.yx（3）的最大值为3，最小值为－3.yx题型二：与圆有关的最值问题例3已知A（-2，0），B（0，2），P是圆C:x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABP面积的最大值是.32xyoABCP练习：1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线与圆O交于P、Q两点，（1）当最短时，求直线的方程；（2）当的面积最大时，求直线的方程。||PQOPQlll(1)250xyxyoPCQ练习：1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线与圆O交于P、Q两点，（1）当最短时，求直线的方程；（2）当的面积最大时，求直线的方程。||PQOPQlll(1)250xyxyoPCQ(2)307150xyxy或练习：2、点P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆O：x2+y2=9分别相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值.311xyoPAB练习：3、点A、B分别是圆C：x2+(y-3)2=1和椭圆上两点，求的最大值.5AB最大值为xyoCABAB2214xy题型三：直线与圆的位置关系例4已知圆C的方程是(x-1)2+(y-2)2=5,求（1）过点A(3,3)的圆的切线方程；（2）过点B(5,-1)的圆的切线方程并求出切线长；（3）过点C(3,5)的直线被圆C所截得弦长为2，求此直线的方程.(1)290xy(2)290211210或xyxy25切线长为(3)312450或5xxy1、与圆C:x2+(y+5)2=3相切,且在x,y轴上截距相等的直线有条.xoy4练习：练习：2.(2016,全国卷1,15)设直线:y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点,若，则圆C的面积为。423AB练习：3.(2015,全国卷1,20)已知过点A（1,0）且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）若,其中O为坐标原点，求.12OMONMN4747(1)(,)33(2)1,2kMN题型四：圆与圆的位置关系例5圆O1的方程为：x2+y2-2x-4y-11=0圆O2的方程为：x2+y2+6x+4y+9=0判断两圆的位置关系。两圆相交22111222222212(1)(2)16,(12),4(3)(2)4,(32),2(13)(22)42OxyOrOxyOrOO解：圆：，圆：，121212||||rrOOrr例5已知圆O1的方程为：x2+y2-2x-4y-11=0圆O2的方程为：x2+y2+6x+4y+9=0求（1）两圆公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。2250xy(1)两圆方程相减化简得oxyO1O2142(2)公共弦长为练习：1、圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝，求圆O2的方程．(1)圆O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝(22－2)2，(2)圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.22练习：2、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条B3、求⊙O:x2+y2=1和⊙C:x2+y2-6x+5=0的公切线方程.内公切线：x=1外公切线：x±y+3=022题型五：与圆有关的轨迹问题例6已知两点A（-2，1），B（0，2），动点P到A,B两点距离之比为2:1，求点P的轨迹方程。2233414110xyxy直接法练习：1.(2014,全国卷1,20)已知点P（2,2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（I）求M的轨迹方程；（II）当时，求的方程及的面积.OMOPllPOMoxyCPABM22(1)132xyN18(2)33lyx直线方程为：410410=55141041016==2555POMOlPMS可求得到的距离为，2.已知过原点的动直线与圆C1x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B，（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。221(1)(3)4,(3,0)xyCoxyABC1M2239(2)(),24xy5(3)3x练习：2.已知过原点的动直线与圆C1x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B，（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。221(1)(3)4,(3,0)xyCoxy（4,0）2239(2)(),24xy5(3)3x325253(3),4774k练习：练习：3.已知点A（2,3），点B在圆O：x2+y2=1上，线段AB的中点为M，求M的轨迹方程；oxyABM2231124xyN4.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42.从而x0＝x＋3y0＝y－4.N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点－95，125和－215，285(点P在直线OM上时的情况)．练习：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．探究提高例7：已知直线y=-x+m与曲线有两个不同的交点，求m的取值范围。xxy22021m题型六：与圆有关的综合问题xyO01k11(0