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学案5数列的应用返回目录一、等差、等比数列的性质1.若{an},{bn}皆为等差数列，则{kan+b},{an+bn}分别是和数列.2.若{an}为等差数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则ap+aqam+an;若2m=p+q,则2amap+aq.等差等差==返回目录3.若{an}为等差数列，公差为d，则am,am+n,am+2n,am+3n,…为数列，公差为.4.若{an}为等差数列，Sn,S2n,S3n为其前n项，2n项，3n项的和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为数列.5.若{an},{bn}为等比数列，则{}，{an,bn},{kan}(k≠0)都为数列.6.若{an}为等比数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则amanapaq,若2m=p+q，则apaq.7.若{an}为等比数列（公比q≠-1），Sn为其前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为数列.等差nd2mana1等差等比==等比二、数列综合应用题的解题步骤1.审题——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.2.分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.3.求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.返回目录8.若{an}为等比数列，则am,am+t,am+2t,am+3t,…为数列.等比具体解题步骤如下框图:返回目录返回目录三、数列应用题常见模型1.银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr).2.银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=a(1+r)x.3.产值模型原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x.4.分期付款模型a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则.1-r)(1ar)r(1bnn++=返回目录已知{an}为等比数列，a3=2,a2+a4=.求{an}的通项公式.【分析】根据等比数列的定义及通项公式求解.考点一等差、等比数列性质的应用320返回目录【解析】解法一：设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=,a4=a3q=2q,∴+2q=,解得q=或3.当q=时，a1=18,∴an=18×（）n-1==2×33-n.当q=3时，a1=,∴an=×3n-1=2×3n-3.q2qa3=q2320313131-1n3189292解法二：由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4=,则a2,a4为方程x2-x+4=0的两根,a2=a2=6a4=6或a4=.①当a2=时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②当a2=6时,q=,a2=2×33-n.an=2×3n-3或an=2×33-n.返回目录3203203232解得{3231返回目录【评析】等比数列性质an=amqn-m,am·an=ap·aq(p+q=m+n,m,n,p,q∈N*)是常用公式,注意应用.＊对应演练＊若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,已知求的值.返回目录,3n7nTSnn+=55ba解法一:解法二:∵可令Sn=7n·kn=7kn2,Tn=kn(n+3),∴a5=S5-S4=7k·52-7k·42=63k,b5=T5-T4=k·5(5+3)-k·4(4+3)=12k,∴返回目录.421TS)(b29)a(a29bbaa2b2aba99919191915555==++=++==b,3n7nTSnn+=42112k63kba55==返回目录解法三:∵∴即a1=b1,①又即10a1+5d1=28b1+14d2,②即2a1+2d1=7b1+7d2,③由①②③解得b1=a1,d1=2a1,d2=a1,∴.47TSba1111==,3n7nTSnn+=47514TSd2bd2abbaa2221112121==++=++,27TSdbdad2233bd3233abbbaaa3321112111321321==++=×+×+=++++又7472.421a724a742a4a4db4daba1111211155=×+×+=++=返回目录设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}（n∈N*）是等差数列，{bn-2}是等比数列，求{an}和{bn}的通项公式.【分析】由题意，先求出an+1-an，用累加法求{an}的通项公式，同理求bn.考点二等差数列、等比数列的综合应用【解析】由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1，d=-1-（-2）=1，∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1)d=-2+(n-1)×1=n-3,∴an-an-1=n-4(n≥2),an-1-an-2=(n-1)-4,…a3-a2=3-4,a2-a1=2-4.以上各式左右分别相加得an-a1=［2+3+…+(n-1)+n］-4(n-1)=-1-4n+4.返回目录21)n(n+∴an=(n2-7n+18)(n≥2).当n=1时，也适合上式.∴an=（n2-7n+18）.又b1-2=4，b2-2=2，∴q=.∴bn-2=4×()n-1.∴bn=2+(n∈N*).21212121n28返回目录返回目录【评析】首先利用迭加法求出等差数列的通项公式，再求等比数列的通项公式.由于题目已告诉{bn-2}是等比数列，故可由b1-2=4与b2-2=2求得公比q=，否则不成立.21返回目录＊对应演练＊一个等差数列{an}（公差d不为零)中的部分项构成公比为q的等比数列{},已知k1=2,k2=4,k3=12.(1)求数列{kn}的通项公式;(2)求数列{kn}的前n项和Sn.nka(1)解法一:∵是数列{an}的第kn项,又是{}的第n项,∴=a1+(kn-1)d=·qn-1=a2qn-1.∴{kn+1-kn}是以k2-k1为首项,公比为4的等比数列,∴kn+1-kn=(k2-k1)4n-1=2·4n-1.递推可得kn-kn-1=2·4n-2,…,k2-k1=2·40,上述n-1个等式累加可得kn=·4n-1+.返回目录nkankanka1ka1223-1n2n2n21n2nk1nk1nk2nkak-akak-akqq.qa-qaqa-qaa-aa-a===++++∴[][]4k-kk-k1)d-(ka-1)d-(ka1)d-(ka-1)d-(ka122311212131==++++=3234返回目录解法二:由a2,a4,a12成等比数列,得=a2·a12,即(a1+3d)2=(a1+d)·(a1+11d).∴6a1d+2d2=0.∴d=0或d=-3a1.由d=-3a1知=q=4.下同解法一.(2)由kn=·4n-1+,可得Sn=.24a24aa323492-12n2·4n+返回目录已知f（x）=logax(a＞0，且a≠1),设f（a1），f（a2），…，f（an）（n∈N*）是首项为4，公差为2的等差数列.（1）若a为常数，求证：{an}成等比数列；（2）设bn=anf（an），若{bn}的前n项和是Sn，当a=，求Sn.【分析】利用函数的有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决其他问题.考点三数列与函数的综合问题2返回目录【解析】（1）f（an）=4+（n-1）×2=2n+2,即logaan=2n+2,可得an=a2n+2.为定值.{an}为等比数列.22n22n2-1)2(n22n-1nnaaaaaaa===∴+++∴（2）bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a=时，bn=（2n+2）（）2n+2=（n+1）2n+2.Sn=2·23+3·24+4·25+…+（n+1）·2n+2，①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+（n+1）·2n+3.②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3.返回目录223n-1n42)1(n-2-1)2-(12++返回目录【评析】数列与函数、方程、不等式、解析几何等知识常常相互结合出题，解这类题目，常用的方法有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.返回目录＊对应演练＊已知二次函数f（x）=x2-2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n∈N*.（1）设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}为等差数列.（2）设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{dn}，求数列{dn}前n项的和Sn.（3）对于（1）中的数列{an}，求数列{cn}中的最大项与最小项.nna225-4n11c++=(1)证明:∵二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+100(n∈N*)图象的顶点的横坐标为10-3n,∴an=10-3n(n∈N*).∵an+1-an=10-3(n+1)-(10-3n)=-3,∴数列{an}是等差数列.返回目录返回目录(2)∵二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+100(n∈N*)的图象的顶点到y轴的距离为|10-3n|,∴dn=|10-3n|(n∈N*),数列{dn}的前3项为一个首项为7，公差为-3的等差数列,第4项开始为一个首项为2，公差为3的等差数列,∴数列{dn}前n项的和7n+·(-3)，n≤3,12+2(n-3)+,n≥4,，n≤3,,n≥4.21)-n(n24)-3)(n-3(nSn={217n3n-2+24817n-3n2+即Sn={(3)cn=，数列{cn}的图象是以（，1）为中心，以x=、y=1为渐近线的双曲线上的一些点.显然，n=2时cn的值最小，其值c2=-1；n=3时cn的值最大，其值c3=3.返回目录25-n113n-10225-4n11+=++2525返回目录若α,β是方程x2-x+m2=0(m0)的两实根，而且α,α-β,β成等比数列.（1）求m的值；（2）数列{an}的通项公式为an=，且Sn是它的前n项和，求证：log2m≤Snlogm2.【分析】根据方程根与系数的关系求出α,β与m的关系，从而得出m的值；利用裂项法求和Sn，利用单调性证明不等式.考点四数列与方程、不等式的综合应用101)n(n1+21返回目录【解析】(1)∵α,β为方程x2-x+m2=0(m0)的两实根，∴Δ=（-）2-4m2≥0.∴-≤m≤，且α+β=,αβ=m2.又∵α,α-β,β成等比数列，∴（α-β）2=αβ.∴(α+β)2-5αβ=0.∴5m2=10,∴m=.1010210210102（2）证明：Sn=a1+a2+…+an=∵m=,∴log2m=log2=,logm2==1.∴要证log2m≤Snlogm2,只要证≤Sn1即可.∵n∈N*,∴0≤.∴-≤-0.∴≤1-1.故≤Sn1，得证.返回目录.1n1-1)1n1-n1()31-21()21-1(1)n(n1321211+=++…++=++…+×+×222121212log221211n1+21211n1+211n1+21【评析】在第一问中不能忽视Δ≥0这个条件；在第二问中求出Sn=1-后，要根据单调性确定出Sn的变化范围，从而加以比较.这是一道数列与方程相结合的综合性题目.返回目录1n1+已知数列{an}是公比大于1的等比数列，且=a15，Sn=a1+a2+…+an，求满足Sn＞Tn的最小正整数n.＊对应演练＊返回目录210a.a1a1a1a1Tn321n+…+++=设{an}的公比为q，依题意得（a1q9）2=a1q14，∴a1q4=1，即a1=，∵q＞1,∴0＜a1＜1,∴an＞0,又Sn=，∴而Tn=·Sn，∵Sn＞Tn＞0,∴，∴qn-1＞=q8.又q＞1,∴n-1＞8,∴n＞9.∴满足Sn＞Tn的最小正整数n=10.返回目录4q1q-1)q-(1an1q-