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新课标·人教A版·新课标（RJA）··新课标·全国卷地区专用本课件是由精确校对的word书稿制作的“逐字编辑”课件，如需要修改课件，请双击对应内容，进入可编辑状态。如果有的公式双击后无法进入可编辑状态，请单击选中此公式，点击右键、“切换域代码”，即可进入编辑状态。修改后再点击右键、“切换域代码”，即可退出编辑状态。第28讲数列的概念与简单表示法第29讲等差数列及其前n项和第30讲等比数列及其前n项和第31讲数列求和第32讲数列的综合问题第5单元数列单元网络返回目录返回目录核心导语一、数列的概念1．函数背景——数列可以看成定义域为N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数．2．分类——按项数分为有穷数列、无穷数列；按项的大小分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．3．表示法——通项公式、列表法、图像法、简单的递推公式．二、等差数列与等比数列1．公式——等差(等比)数列的通项公式与前n项和公式．2．判断与证明——根据等差(等比)数列的定义．3．数列基本量——等差数列与等比数列的五个基本量a1，d(或q)，n，an，Sn，知三可求二．返回目录4．性质的应用——解决等差(等比)数列问题，恰当应用性质，可减少运算量．三、数列的应用1．数列求和——除了等差数列、等比数列的求和外，还涉及分组求和、裂项相消求和、错位相减求和等方法；2．适当交汇——数列是一种特殊的函数，应用函数与方程思想，构造辅助函数解决数列中的不等式恒成立问题等.返回目录使用建议1．编写意图高考对数列的要求比较高，等差数列和等比数列在实际中有着广泛的应用，求通项公式和求和方法比较多，思维灵活．编写要注意以下几个问题：(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度，应加强对方法的讲解和计算的训练，适当提高题目的难度．(2)从近几年高考来看，该部分主要考查的是等差、等比数列的问题，要加强这个方面的训练．(3)考虑到该部分内容是第一轮复习，因此在选题的时候尽量选取基础性强的题目，注重通性通法．返回目录使用建议2．教学指导本部分高考中有一个大题，题目中等难度，教师在引导学生复习该部分的时候要注重基础知识和基本方法的掌握，还要加强灵活性的训练．教学时，注意以下几个方面：(1)等差、等比数列是特殊的数列，是解决数列问题的基础，因此等差与等比数列通项公式、前n项和公式以及性质的熟练应用非常关键．(2)求通项公式和前n项和的方法比较多，注意各类题目的总体把握和细节的处理．(3)这部分在实际中有着广泛的应用，比如购房贷款问题、存款问题、人口增长率问题等等，要加大实际问题的训练．使用建议返回目录3．课时安排本单元共5讲，每讲建议1课时完成，一个45分钟三维滚动复习卷及一个突破高考解答题专项训练，建议课外完成，本单元大约共需5个课时完成．第28讲数列的概念与简单表示法基础自主梳理考点互动探究高考热点解读返回目录考试说明返回目录1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫作这个数列的______，数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)，后面依次是第2项，第3项……，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，….2．数列的表示法(1)________：a1，a2，a3，…，an，….(2)________：数列可用一系列孤立的点表示．(3)________(公式法)：通项公式或递推公式．第28讲数列的概念与简单表示法基础自主梳理返回目录——知识聚焦——项列举法图像法解析法3．数列的分类按项数可分为_____________________；按项的大小变化可分为________________________________________．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作数列的________，可以记为________．5．数列的通项公式与前n项和的关系：________________________________________________第28讲数列的概念与简单表示法基础自主梳理返回目录有穷数列、无穷数列递增数列、递减数列、常数列、摆动数列通项公式an6．数列的一般性质由于数列可以看成一个关于正整数n的函数，因此它具备函数的某些性质：(1)单调性：若an＋1an，则{an}为________；若an＋1an，则{an}为________；否则为摆动数列或常数列．(2)周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零常数)，则{an}为________，k为{an}的一个周期．第28讲数列的概念与简单表示法基础自主梳理返回目录周期数列递增数列递减数列——正本清源——第28讲数列的概念与简单表示法返回目录1．[教材改编]下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是________．基础自主梳理►链接教材第28讲数列的概念与简单表示法[答案]①③返回目录[解析]数列根据项数多少可分为有穷数列和无穷数列，故②错误；数列的通项公式不是唯一的，故④错误．基础自主梳理第28讲数列的概念与简单表示法[答案]an＝n2＋1返回目录2．[教材改编]已知数列2，5，10，17，26，…，则通项公式为________．[解析]因为2＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，所以an＝n2＋1.基础自主梳理第28讲数列的概念与简单表示法[答案]7返回目录3．[教材改编]已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项．[解析]设2，5，8，11，…形成的数列为{an}，被开方数形成的数列为{bn}，从形式上讲，每一项都有二次根号，被开方数为2，5，8，11，…，易归纳出数列{bn}的一个通项公式为bn＝3n－1，所以an＝3n－1，因为25＝20＝3n－1，解得n＝7，所以25是这个数列的第7项．基础自主梳理第28讲数列的概念与简单表示法[答案]递减返回目录4．[教材改编]已知数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．[解析]由数列{an}的通项公式，得an＋1－an＝[19－2(n＋1)]－(19－2n)＝－2＜0，所以{an}是递减数列．基础自主梳理第28讲数列的概念与简单表示法5．利用前n项和公式求通项公式：注意检验n＝1的情况．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________．返回目录[答案]基础自主梳理►易错易混第28讲数列的概念与简单表示法返回目录[解析]当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2不符合上式．故基础自主梳理第28讲数列的概念与简单表示法6．数列的通项公式：数列是自变量为正整数的特殊函数．数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋9n，则该数列最大项为________．返回目录[答案]10基础自主梳理[解析]数列{an}的通项公式是关于n的二次函数，对称轴为n＝94，又n∈N*，因此当n＝2时，最大项为10.第28讲数列的概念与简单表示法7．判定数列的增减性：利用an＋1－an的正负判定．已知数列{an}中，an∈0，12，an＋1＝38＋12a2n，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．返回目录[答案]递增基础自主梳理►通性通法第28讲数列的概念与简单表示法返回目录[解析]∵an＋1－an＝12a2n－an＋38＝12(an－1)2－18，又∵0an12，∴－1an－1－12，∴12(an－1)218，即12(an－1)2－180，∴an＋1－an0，即an＋1an对一切正整数n都成立，故数列{an}是递增数列．基础自主梳理►探究点一根据数列的前几项求通项公式考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)112，223，334，445，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)1，3，7，15，31，…；(4)1，0，－1，0，1，0，－1，0，….返回目录第28讲数列的概念与简单表示法［思路点拨］根据项和项数的关系找到规律．返回目录[解析](1)这个数列的整数部分1，2，3，…，n，…恰好是项数n，分数部分12，23，34，…与项数的关系是nn＋1，∴an＝n＋nn＋1＝n2＋2nn＋1.(2)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，∴an＝2n（2n）2－1＝2n4n2－1.考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法返回目录(3)相邻两项作差，则a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝8，…an－an－1＝2n－1.将这n－1个式子累加，得an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝a1＋2n－2＝1＋2n－2＝2n－1.当n＝1时，此式仍成立，故所求的通项公式为an＝2n－1.(4)数列的项呈周期性变化，与三角函数密切联系，因此其通项公式可以写成an＝sinnπ2(n∈N*)．考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法[总结反思]根据前几项求通项公式时，需要仔细观察分析，抓住以下特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号的特征等，并进行归纳猜想．返回目录考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法变式题根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2，0，2，0，…；(2)12，34，78，1516，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)7，77，777，7777，….返回目录考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法[解析](1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…，可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数列的通项公式为an＝(－1)n＋1＋1.所给数列也可看作2，0，2，0，…周期性变化，因此所给数列的通项公式为an＝2，n为奇数，0，n为偶数.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝2n－12n.返回目录考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1n（n＋1）.(4)所给数列7，77，777，7777，…可以改写成79×9，79×99，79×999，79×9999，…，可以看作79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1000－1)，79×(10000－1)，…，因此所给数列的通项公式为an＝79×(10n－1)．返回目录考点互动探究►探究点二由数列的递推关系式求通项公式第28讲数列的概念与简单表示法例2[2014·新课标全国卷Ⅱ改编]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式．返回目录►考向一形如an＋1＝pan＋q的形式考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法[思路点拨]只需证明an＋1＋12an＋12为非零常数即可，再结合等比数列的通项公式求an.返回目录[解析]由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3an＋12.又a1＋12＝32，所以an＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以an＋12＝3n2，因此数列{an}的通项公式为an＝3n－12.考点互动探究第28讲数列的概念与简单表示法[总结反思]形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋