二项式定理与杨辉三角

④二项展开式的通项:1kT③二项式系数:}),,2,1,0{(nkCkn①项数：②次数：共有n＋1项各项的次数都等于n，kknknbaC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn字母a按降幂排列，次数由n递减到0,字母b按升幂排列，次数由0递增到n.二项式定理?)1(nx)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn?)(nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(11001kknnnnnnCCxCxCx二项式定理011()rnnnnnnnnrrnnabCaCabbCCab定理剖析1.二项式系数规律：nn2n1n0nCCCC、、、、2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项展开式中a的次数由n降到0，b的次数由0升到n.3.项数规律：二项展开式共有n+1个项4.若a=2,b=x:404132223134444444(2)2222xCCxCxCxCx则称某一项除X外的代数式为项的系数如：第二项的系数为：，二项式系数为：134232C144C化简:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.0413223444444(1)(1)(1)(1)CxCxCxCxC原式4[(1)1]x4x变式练习杨辉三角研究性课题：计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++第5行1551第0行1杨辉三角第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111nC21nC11rnCrnC121nnC第n行11nC2nC1nnC………………………………1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34rnrnrnCCC111rnC一.复习:杨辉三角的基本性质rnrnrnCCC111rnnrnCC1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是3）杨辉三角具有对称性4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数即)!(!!rnrnCrnnnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba1110)(二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查11、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是()A第２项B第３项C第４项D第５项则n=__________B8析:26268nnCCn②增减性与最大值112111()()()CC()!kknnnnnnknkkkk由于：所以相对于的增减情况由决定knC1Cknkkn1二项式系数的性质由：2111nkkkn即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk可知，当时，因此,当n为偶数时,中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值。②增减性与最大值二项式系数的性质③各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．二项式系数的性质例证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：1,1bannnnnnnnCCCCC)1(113210nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)()()(03120nnnnCCCC赋值法证明：1222nn3n1n2n0nCCCC中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？1.斐波那契“兔子繁殖问题”:二.引入:在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，2.杨辉三角与弹子游戏如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品低于中间区奖品？“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？AB3.杨辉三角与“纵横路线图”从某种意义上说,发现问题更重要.第5行1551第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111nC21nC11rnCrnC121nnC第n行11nC2nC1nnC………………………………1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34rnrnrnCCC111rnC三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.1.研究斜行规律：第一条斜线上：16C第二条斜线上：26C第三条斜线上：36C第四条斜线上：46C猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1条斜线上的第n个数.1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）1＋4＋10＋．．．＋＝（第4条斜线）31nC1＋3＋6＋．．．＋＝（第3条斜线）21nC1＋2＋3＋．．．＋＝（第2条斜线）11nC(nr)rnrrrrrrCCCC1211nC2nC3nC4nC1rnC?结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．1.斐波那契“兔子繁殖问题”四.应用:在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品低于中间区奖品？“概率三角形”12111824143838141218照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何关系？2.杨辉三角与弹子游戏“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？AB由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系3.杨辉三角与“纵横路线图”杨辉三角的其它规律第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………第7行172135352171杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是质数(素数)3:2（04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.34练习1:练习2：4774122343511141156162525166则第n行（n≥2）第2个数是什么？分析:设第n行的第2个数为an,则a2=2,an+1=an+n∴an=2+2+3+…+(n-1)22nn2练习3：35691012171820243334364048656668728096则表中各数按从小到大的顺序排列，第100个数是多少？分析:首先计算第100个数位于表中第几行,∵1+2+3+…+13=91∴第100个数位于第14行,第9个数其次计算第14行第1个数:3+21+22+…+213=16385最后计算第9个数:16385+20+21+22+23+24+25+26+27=16640