高中理科数学解题方法篇(数列通项)

大家下午好专题复习：递推数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。数列是近几年高考中的重点，难点，也是热点。所占分值约为12％--16％，并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现，可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现，大部分试题都与通项公式有关，也进一步说明数列通项公式求法的重要性。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提，也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。高考大纲中也明确提出：要了解数列通项公式的意义，能根据数列递推公式求出通项公式并能解决简单的实际问题。据发现，很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难，尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。一．求递推数列的常用方法和技巧特殊方法：1.公式法2.累差法3.累乘法4.迭代法5.倒数代换法6.对数代换法7.待定系数法8待定函数法8.特征方程法（含不动点法）9.解方程组法10.数学归纳法11.换元法(含三角代换)12．分解因式法通用方法：(大神级方法)13.母函数法（也叫级数法）（适合实验班数学高手，或者大学生，高中教师学习掌握。这种方法十分强大，比如像著名数列卡特兰数列递推公式都直接被母函数秒杀）14.病灶分析法（自己发明的思维方法，名字起得不好听，呵呵。这种面向对象的思维方式非常好能激发学生的分析问题的能力！）15.函数迭代法（详见附录一）（里面有“算子代数”模型研究结果，难度较大，适合老师学习。这种方法威力极其强大，能算出极其难算的数列通项，适用范围1()nnafa这种一阶问题）二．高考数学递推数列的常见类型类型1.0),(nnaSf型的类型2.递推公式为类型3.递推公式为类型4.递推公式为（其中p，q均为常数，）。类型5.递推公式为nfpaann1类型6递推公式为为常数）aaanpnqanpann()0)(()()(11类型7.递推公式为10qnnnapaa类型8.递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。类型9.递推公式为hraqpaannn1型（特别的情形是：11nnnpaaa）类型10.212nnnapaaq型类型11.双数列型递推公式为11nnnnnnapaqbbsatb确定na,nb.类型12.递推公式为22142nnnapaqarqprq类型13.其他类型类型14..循环数列类型1.0),(nnaSf型的这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例题1．已知数列na的前n项和Sn满足.1,)1(2naSnnn(Ⅰ)写出数列na的前3项;,,321aaa(Ⅱ)求数列na的通项公式;分析：.1,)1(2naSnnn---------------①由,12111aSa得.11a----------------②由2n得，12221aaa，得02a--------------③由3n得，123321aaaa，得23a---------④用1n代n得111)1(2nnnaS-----------⑤①—⑤：nnnnnnaaSSa)1(22211即nnnaa)1(221----------------------------⑥nnnnnnnnnaaaa)1(2)1(22)1(2)1(222)1(221222121nnnna)1(2)1(2)1(222211112)1(232nn---------------------------⑦解法二：母函数法（这个通法用在这个题目上比较麻烦，这里仅仅是显示下母函数法的解题过程），母函数的优势在本题中体现不出来，但是作为通法，它有巨大价值！nnnaa)1(221--------------------------------○1112()2nnnxfxax---------------------------○21111122(12)()(2)(12)()(2)(1)(12)()2()(12)()21()(12)(1)nnnnnnnnnxfxaxaaxxfxxxxfxxxxxfxxxxxfxxx设()121BCfxAxx，待定系数，用赋值法建立方程组解得：0021012163()2121112()(2)()2632()[2(1)]3nniinnnifxxxfxxxfxx212[2(1)]3nnna解法三：（病灶分析法）仅仅阐述我的一种思维方式，并没有固定格式：nnnaa)1(221--------------------------------○1我们来看一看这个递推公式，如果没有12na中的2，那我们都会做了，直接用累加法做即可，现在这个12na中的2，就是所谓的“病灶”，下面我们来消灭它！122(1)nnnaa111112211112211222(1)12()222()()...()22222222112()222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnknnkaaaaaaaaaaaaa（注明：书写方便起见，我直接采用“横式累加法”）212[2(1)]3nnna解法四：（病灶分析法）nnnaa)1(221--------------------------------○1我们来看一看这个递推公式，如果没有2(1)n，那我们都会做了，直接就是等比数列了，直接秒杀，现在这个2(1)n，就是所谓的“病灶”，下面看我消灭它！我们用“函数撕裂”的思想把这个2(1)n撕开，分别配到左边和右边：11(1)2[(1)]nnnnaa，比较系数得到232{(1)}3nna，就是等比数列了，而且公比是2，轻易算得：212[2(1)]3nnna解法五：（病灶分析法）nnnaa)1(221--------------------------------○1和面一样，还是选取2(1)n为病灶，不同的是，前面对病灶的处理，相当于对“病灶改良”把病灶规范化，相当于一个得了癌症的人，治疗以后带瘤生活。现在我换一种处理方法，就是直接把这个病灶，“肿瘤”给它割掉！122(1)nnnaa----------------------------------○211222(1)nnnaa-----------------------------○3从式中解出1212(1)2nnnaa带入○2中得到：122nnnaaa，然后用特征方程法或者待定系数法求解求解你可能会笑，干嘛还做麻烦了呢？嘿嘿，这个解法五发出来仅仅是展示一下肿瘤是怎么被切掉的。就题论题而言我们完全没必要采用这个方法，但是这种方法，在处理更复杂的递推公式的时候也不失为一种极好的“手术刀”！类型2.递推公式为解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例题2:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121类型3.递推公式为解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例题3:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32类型4.递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例题4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项，2为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.解法二：母函数法（再来熟练下母函数方法，这些通法一旦学会极其好用哦）21121231122112112120....()......2()2...2...(12)()(2)...(2)...(12)()3...3...232()1(1)(12)112()132(2)nnnnnnnnkkfxaxaxaxxfxaxaxaxxfxaxaaxaaxxfxxxxxxfxxxxxfxxx0101()(23)23kkkkknnfxxa解法三：（病灶分析法）11a，321nnaa分析一下这个递推公式，如果没有“3”那么这个通项公式就OK了。因此这里的“3”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。（函数撕裂法把3撕开分散在左右两边形成规范型）12()nnaa，比较系数得3132(3)nnaa，也就是上面的待定系数法，这里只是说明待定系数法是怎么分析来的，只是来解释一下，前人为什么会想到待定系数法。解法四：（病灶分析法）11a，321nnaa分析一下这个递推公式，如果没有“3”那么这个通项公式就OK了。因此这里的“3”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。（直接肿瘤切除）123nnaa--------------○1123nnaa---------------○2○1-○2消去这个肿瘤“3”：1132nnnaaa，对于这个问题后面的步骤就不解释了，可能你又会说这个题，用这个解法四来垃圾了，的确对这个题目而言是很垃圾，但是这个方法解决起复杂问题就非常好了，再此只是再次熟悉，手术刀是如何切除肿瘤的！解法五：（病灶分析法）11a，321nnaa分析一下这个递推公式，如果没有“2”那么这个通项公式就很OK了，直接就是个等差数列，哈哈。因此这里的“2”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。111122111122113222()()...()22222222nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa（为了书写方便我就直接用“横式累加法”了）解法六：（函数迭代法）算子代数方法11a，321nnaa1(),()23nnafafxx，这里的函数()fx就是可爱的迭代函数啦，嘎嘎。因为(1)11((..(()...)()nnaffffafa，因此函数迭代的关键问题是对于一个具体的函数()fx而言，如何去求